Faktorisierung eines Polynoms Buchstaben

Wissenschaft Mathematik
#1

Guten Tag,
da bald eine Prüfung meines Studium ansteht, gehe ich nocheinmal die ganzen Übungszettel durch. Mein Problem liegt bei der Faktorisieung eines Polynoms welches ausschliesslich aus Buchstaben besteht. Bei anderen Polynomen mit Zahlen und x-en bereiten mir keinerlei Schwierigkeiten.

Die Aufgabe lautet wie folgt…
Zerlegen sie folgende Polynome in Faktoren:
u(v^2- w^2) + v(w^2- u^2) + w(u^2- v^2)

Ich habe auch schon mehrere Ansätze versucht, habe allerdings keine Ahnung ob einer davon auch nur in die richtige Richtung geht.

  1. Versuch: Die Faktoren vor den Klammern mit den Klammern aus multipliziert um zu schauen ob sich etwas raus kürzt --> hat nichts gebracht.

  2. Versuch: In jeder der 3 Klammern die 3. Binomische Formel ausgeschrieben --> bin ich auch nicht raus schlau geworden.

  3. Versuch: Weiter ausmultipliziert, so dass vor jeder Klammer der gleiche Faktor steht (uvw*(…) + uvw*(…)

Durch den letzten Ansatz würde sich bei mir ergeben:
uvw*(0)

Über Anregungen zu einem richtigen Ansatz würde ich mich sehr freuen.

Sebastian

#2

Hallo,
ich habe eine mail bekommen mit dieser Anfrage - k.A. warum, ich hab nämlich leider gar keine Ahnung!
LG Sally

#3

Lieber Sebastian,
das ist ziemlich trickreich, aber es geht:
u(v^2- w^2) + v(w^2- u^2) + w(u^2- v^2) =
uv^2-uw^2+vw^2-vu^2+wu^2-wv^2 + uvw - uvw (!!!)=
u(uw-uv-w^2+vw) - v(uw-uv-w^2+vw)=
(u-v)(uw-uv-w^2+vw) =
(u-v)(u-w)(w-v)
Gruß G. Spang

#4

Hallo,
erstmal vielen Dank für die Lösung. Diese ist auch korrekt wie ich durch andere Studenten mitlerweile erfahren habe. Allerdings wissen auch diese nicht wie man auf die Lösung kommt. Wie sie auf die 2. Reihe Ihrer Lösung kommen ist mir schon nicht komplett klar. Anfangs haben Sie ja ausschliesslich die Klammern ausmultilpilziert wodurch ja „uv^2-uw^2+vw^2-vu^2+wu^2-wv^2“ entstanden ist. Aber wie kommt man denn auf „+ uvw - uvw (!!!)“ was in er gleichen Zeile direkt dahinter steht?

Dre Rest der Rechnung ist mir allerdings wieder klar.

Nochmals vielen Dank für den Rechenweg, würd mich aber noch sehr über die Erklärung zu der 2. Zeile freuen.

Sebastian

#5

Dass ist schwer straight forward zu erklären. Ein bisschen Erfahrung oder Intuition ist auch dabei.
Also: der Term, den Sie faktorisieren sollten ist in sich vollkommen symmetrisch, woraus ich (heuristisch) schließe, das auch die Faktorisierung irgendwie symmetrisch sein muss. Die Terme enthalten alle die 3. bin. Formel, also war naheliegend (u-v) oder (u+v)abzuspalten. Das ist nur möglich bei (u-v)und da auch nur in dem man den Term uvw einfügt und natürlich gleich wieder abzieht. Keine vollständig zufriedenstellende Antwort, ein bisschen trial and error ist nun einmal auch oft bei solchen Herleitungen.
Viel Glück in der Prüfung
G. Spang