Habe hier eine Aufgabe, die ich trotz ansatzweiser Erklärung durch
den Tutor nicht verstehe.
Wir sollen eine Verknüpfungstabelle (+,*) für die funktion
f(x)=x^2+x+1 erstellen. (die eigentliche Aufgabe lautet, kostruieren
sie einen Körper mit 4 Elementen)
Habe jetzt schon mehrfach im Inet gesurft und überall die Wikipedia-
Beispiel Erklärung gefunden, die ich zwar nachvollziehen aber nicht
auf mein Beispiel übertragen kann.
Die Hauptfrage ist: Welche Elemente stehen in den Äquivalenzklassen
0,1,x,x+1 drin? Wenn ich das richtig verstanden habe muss ich wenn
ich dies weiss nurnoch 2 beliebige Elemente der zu addierenden/
multipliziernden Klasse addieren/multiplizieren und schauen, in
welcher Klasse das Ergebnis liegt. Das Problem ist dass ich nicht
genau weiss wie ich das mache. Subtraktion der enthaltenen Elemente?
oder wie?
oder funktioniert das ganz anders? Lösung wäre praktisch, ein
dazugehöriger, formloser Erklärungsansatz auch super.
Hallo,
Die Hauptfrage ist: Welche Elemente stehen in den
Äquivalenzklassen 0,1,x,x+1 drin?
u.a. 0,1,x und x+1 
. Das ist der Ausgangsmenge mit der sich alle Elemente der Äquivalenzklassen durch sukzessives addieren und multiplizieren gewinnen lassen. Nimmt man die Verknüpfungstabellen für die Addition
+ 0 1 x x+1
0 0 1 x x+1
1 1 0 x+1 x
x x x+1 0 1
x+1 x+1 x 1 0
und Multiplikation
\* 0 1 x x+1
0 0 0 0 0
1 0 1 x x+1
x 0 x x+1 1
x+1 0 x+1 1 x
als Grundlage, so erhält man für die 4 Polynome mit Grad 2
x^2=x+1 (mod f)
x^2+1=x+1+1=x (mod f)
x^2+x=(x+1)+x=1 (mod f)
x^2+x+1=0 (mod f)
und für die 8 Polynome mit Grad 3
x^3=x\*x^2=x\*(x+1)=x^2+x=1 (mod f)
x^3+1=1+1=0 (mod f)
x^3+x=x+1 (mod f)
x^3+x+1=1+(x+1)=x (mod f)
x^3+x^2=1+(x+1)=x (mod f)
x^3+x^2+1=x+1 (mod f)
x^3+x^2+x=1+(x+1)+x=0 (mod f)
x^3+x^2+x+1=0+1=1 (mod f)
usw. fortschreitend für alle Polynomgrade, es sei denn man erkennt die Regel dahinter .
Gruss
Enno
Hi!
Du bist nicht zufällig im ersten Semester Mathe in Oldenburg? Da gibts auf dem Übungszettel die gleiche Aufgabe.
Naja, ohne das x²+x+1, aber ich konnt meine Klappe wieder nicht halten…
Übrigens: Körper mit 4 Elementen kann doch noch anders gebildet werden: Man brauch nur ein neutrales Elemente der Addition und einer der Multiplikation. Das sind ja schonmal zwei. Der Rest muss geschickt gewählt werden…
Gruß
Christina
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