Sicher eine uralte Frage, aber ich finde keinen brauchbaren Link zu einer verlässlichen Antwort:
Wer hat nun recht: Der Lehrer, welcher sagt, eine Kugel, in einen Schacht durch den Erdmittelpunkt geworfen, fällt über den Erdmittelpunkt hinaus, um anschliessend in einer Jojo-Bewegung schliesslich im Mittelpunkt schweben zu bleiben, oder der Lehrer, welcher behauptet, die Kugel werde, trotz immer grösser werdender Geschwindigkeit, in der Mitte so abgebremst, dass sie gleich von Anfang an dort schweben bleibt?
Wer hat nun recht: Der Lehrer, welcher sagt, eine Kugel, in
einen Schacht durch den Erdmittelpunkt geworfen, fällt über
den Erdmittelpunkt hinaus, um anschliessend in einer
Jojo-Bewegung schliesslich im Mittelpunkt schweben zu bleiben,
oder der Lehrer, welcher behauptet, die Kugel werde, trotz
immer grösser werdender Geschwindigkeit, in der Mitte so
abgebremst, dass sie gleich von Anfang an dort schweben
bleibt?
Kann es sein, dass der erste Lehrer Physik unterrichtet, der andere hingegen Philosophie (oder ähnliches)? Hat der zweite Lehrer auch gesagt, durch welche Kraft die Kugel vor dem Mittelpunkt gebremst werden soll?
Meine Antwort lautet: In einem luftleeren Schacht wird die Kugel kontinuierlich bis zum Mittelpunkt beschleunigt, beim Mittelpunkt hat es die höchste Geschwindigkeit, nach dem Passieren des Mittelpunkts wird die Kugel wieder bis zum Stillstand abgebremst, danach die Bewegungsrichtung wieder um und fällt wieder Richtung Mittelpunkt, etc.
und wenn man es genau nimmt, kommt sie erst gar nicht dort an. Wegen der Erdrotation hat die Kugel eine nicht unerhebliche Tangentialkomponente. Es sei denn, man bohrt das Loch von Pol zu Pol.
und wenn man es genau nimmt, kommt sie erst gar nicht dort an.
Wegen der Erdrotation hat die Kugel eine nicht unerhebliche
Tangentialkomponente. Es sei denn, man bohrt das Loch von Pol
zu Pol.
So ist es.
Man frage den Physiker Gaspard Gustave de Coriolis.
Das etwas naive Beispiel mit dem Loch durch eine Kugel geht an der physikalischen Wirklichkeit weit vorbei, wenn man stillschweigend annimmt, die Kugel sei stillstehend, der Schacht absolut luftleer etc. etc.
Zudem ist das Erdinnere nicht so „kugelfreundlich“ und das Ding verdampft wohl lange vor seinem „Nulldurchgang“.
Man sollte physikalische Fragen nicht so weit kastrieren, bis sie nichts mehr mit der Wirklichkeit zu tun haben und weltferne „Physiklehrer“ damit die Schüler plagen können.
Das meint wenigstens der
Erich
Wer hat nun recht: Der Lehrer, welcher sagt, eine Kugel, in
einen Schacht durch den Erdmittelpunkt geworfen, fällt über
den Erdmittelpunkt hinaus, um anschliessend in einer
Jojo-Bewegung schliesslich im Mittelpunkt schweben zu bleiben,
oder der Lehrer, welcher behauptet, die Kugel werde, trotz
immer grösser werdender Geschwindigkeit, in der Mitte so
abgebremst, dass sie gleich von Anfang an dort schweben
bleibt?
Ohne Berücksichtigung der Luftreibung (also im luftleeren Schacht) kommt die Kugel gar nicht zur Ruhe sondern pendelt beständig zwischen den Umkehrpunkten an der Erdoberfläche hin und her.
Wenn wir Luft in den Schacht füllen, nehmen Druck und Dichte zum Mittelpunkt hin zu und erreichen aberwitzige Werte. Unsere Atmosphäre würde natürlich nicht ausreichen, einen Schacht von sinvollem Durchmesser zu füllen. Aber nehmen wir mal an, wir könnten das tun. Natürlich nähert sich die Kugel dann asymptotisch dem Erdmittelpunkt an und kommt dort ohne Überschwinger direkt zur Ruhe, da die enorme Reibung in dem dichten Medium die Bewegung hinreichend bremst. Habe grade keine Lust auszurechnen, wie lange das dauert. Aber die Zeit bis zum Erreichen der näheren Umgebung (z.B. 1 m Umgebung) des Erdmittelpunkts wäre mit „ewig“ für normale Begriffe ziemlich gut umschrieben.
Sogar wenn wir mal nur mit konstantem Reibungsterm rechnen (also ein Schacht, der rein hypothetisch mit Luft konstanter Dichter bei 1000hPa gefüllt wäre), würde sich die Kugel dem Mittelpunkt wohl asymptotisch nähern, da die Dämpfung wohl so groß sein dürfte, dass sich das System jenseits des asymptotischen Grenzfalls befindet. Man muss sich dazu nur mal klar machen, dass schon 100km vor Erreichen des Mittelpunkts die Schwerkraft fast weg ist, aber die Luftreibung die Kugel immer noch 100km lang abbremst. Ein Fallschrimspringer, der mit dem Kopf voran und angelegten Armen fällt (natürlich mit geschlossenem Fallschirm) erreicht innerhalb weniger Sekunden seine Gleichgewichtsgeschwindigkeit von nur etwa 200km/h. Eine glatte und dichtere Stahlkugel wird natürlich etwas schneller. Trotzdem, unser fallender Körper fällt überall ziemlich genau mit der Geschwindikeit, bei der Luftreibung und Gravitationskraft im Gleichgewicht stehen, da die Zeitskala zum Erreichen des Gleichgewichts mit ein paar Sekunden viel kürzer ist, als die Zeitskala, auf der sich für unseren Körper die Gravitationskraft ändert. Die Gleichgewichtsgeschwindigkeit ist an der Erdoberfläche ein paar hundert Stundenkilometer und erreicht am Erdmittelpunkt gerade Null. Sie ist aber auch schon 100km vor Erreichen des Mittelpunkts winzig klein. Zu einem Überschwinger wird es da nicht kommen.
Den Fall, den Lehrer 1 schildert, kann es also nicht geben. Wir können entweder ohne Reibung denken, dann kommt die Kugel aber gar nicht zur Ruhe. Oder wir können die Reibung berücksichtigen, dann nähert sie sich asymptotisch dem Mittelpunkt - selbst wenn wir nur konstante Reibung annehmen. Um den Fall von Lehrer 1 zu konstruieren, müsste man eine ganz geringe Reibung annehmen, viel geringer, als die tatsächliche Luftreibung.
Lehrer 2 hat recht.
Beste Grüße,
Markus
P.S. Es stimmt natürlich, dass das Ganze sowieso nur in einem Schacht von Pol zu Pol geht oder mit einem Schacht, der reibungsfrei Zwangskräfte auf die Kugel übertragen kann (also nur Kraftkomponenten senkrecht zur Bewegungsrichtung). Ansonsten macht einem die Corioliskraft einen Strich durch die Rechnung und die Kugel rollt auf einer Seite des Schachtes. Da sie aber im Fall mit Luftreibung eh maximal einige hundert Stundenkilometer erreicht, bleibt die Corioliskraft klein und der Andruck an die Seitenwand des Schachtes ist nicht groß.
und wenn man es genau nimmt, kommt sie erst gar nicht dort an.
Wegen der Erdrotation hat die Kugel eine nicht unerhebliche
Tangentialkomponente. Es sei denn, man bohrt das Loch von Pol
zu Pol.
So ist es.
Natürlich, da die Fragestellung sowieso rein hypothetisch ist, wird man natürlich die „Trasse“ so wählen, dass man sich nicht auch noch mit solchen Nebensächlichkeiten wie Corioliskraft beschäftigen muß.
Man frage den Physiker Gaspard Gustave de Coriolis.
Das etwas naive Beispiel mit dem Loch durch eine Kugel geht an
der physikalischen Wirklichkeit weit vorbei, wenn man
stillschweigend annimmt, die Kugel sei stillstehend, der
Schacht absolut luftleer etc. etc.
Zudem ist das Erdinnere nicht so „kugelfreundlich“ und das
Ding verdampft wohl lange vor seinem „Nulldurchgang“.
Wenn es um die physikalische Realität geht, ist die Temperatur im Erdinneren wirklich das geringste Problem. 1. Bei einer Temperatur von ca. 5000°C verdampfen längst nicht alle Materialien und 2. hält sich die Kugel garnicht so lange in diesem Bereich auf, dass sie überhaupt zwingend schmelzen müßte.
Das Problem ist der Schacht selbst, dessen Außenwand nicht nur der Temperatur sondern vor Allem auch dem gewaltigen Druck im Erdinneren standhalten müßte. Selbst wenn es dort unten eiskalt wäre, würde jedes bekannte Material unter der Einwirkung des dort herrschenden Druckes fließen wie eine Flüssigkeit und den Schach sofort verfüllen.
Man sollte physikalische Fragen nicht so weit kastrieren, bis
sie nichts mehr mit der Wirklichkeit zu tun haben und
weltferne „Physiklehrer“ damit die Schüler plagen können.
Das meint wenigstens der
Wieso ? Die Frage hat sowieso von Anfang an nicht das geringste mit der physikalichen Wirklichkeit zu tun.
Man kann übrigens ganz einfach abschätzen, wie lange die Kugel braucht, um durch den luftleeren Schacht die andere Erdseite zu erreichen.
Dazu muss man wissen, welche Kraft auf die Kugel der Masse m im Erdinnern, im Abstand r vom Mittelpunkt der Erde wirkt.
Die Antwort darauf gibt das Newtonsche Gravitationsgestz. Um es anwenden zu können, zerlegt man den Erdkörper in eine Vollkugel der Masse M®, die unter der fallenden Kugel liegt und einer Hohlkugel über der Kugel. Eine Hohlkugel hat im Inneren keine Gravitionskraft, es bleibt also nur die Kraft der Vollkugel. Sie beträgt:
F = GM®m/r²
Um die Masse M® der Vollkugel abschätzen zu können, nimmt man an, dass die Dichte im Erdinnern konstant ist. Dann gilt einfach:
M® = Mr³/R³ mit der Erdmasse M und dem Erdradius R
und damit
F = GMm/R³ * r
Es git also ein lineares Kraftgesetz der Federhärte
D = GMm/R³
Die Kugel macht also eine harmonische Schwingung mit der halben Schwingungsdauer (= Durchfallzeit)
T = Pi*√(m/D) = Pi*√(R³/GM)
Den Ausdruck in der Klammer kann man noch etwas vereinfachen, wenn man die Beschleunigung an der Erdoberfläche betrachtet. Da gilt nämlich
g = GM/R² g/R = GM/R³
und damit ergibt sich die erstaunlich einfache Formel:
T = Pi*√(R/g)
mit g = 9,81m/s und R = 6378km erhält man:
Man sollte physikalische Fragen nicht so weit kastrieren, bis
sie nichts mehr mit der Wirklichkeit zu tun haben und
weltferne „Physiklehrer“ damit die Schüler plagen können.
Das meint wenigstens der
Erich
Hallo Erich,
wäre Einstein deiner Meinung gewesen, gäbe es keine Relativitätstheorie. Überhaupt haben Gedankenexperimente die Physik ganz wesentlich beeinflusst.
Ergänzung: Wirbelstromdämpfung …
Wir könnten natürlich auch den Fall betrachten, dass wir eine _Metall_kugel in einem luftleeren Schacht fallen lassen. Nun müssten wir noch die Dämpfung der Schwingung berücksichtigen, die durch die induzierten Wirbelströme in der Kugel auftritt. Schließlich überquert die Kugel ja ständig Magnetfeldlinien, was bewirkt, dass das Magnetfeld der induzierten Wirbelströme die Kugel ganz leicht abbremst. Das ergäbe eine sehr schwache Dämpfung, die dann tatsächlich den Fall erzeugen sollte, den Lehrer eins beschrieben hat.
wäre Einstein deiner Meinung gewesen, gäbe es keine
Relativitätstheorie. Überhaupt haben Gedankenexperimente die
Physik ganz wesentlich beeinflusst.
Einstein hat die Frage nicht kastriert, sondern durch scharfsinniges Nachdenken auf den wesentlichen Punkt gebracht. Ich bin auch für saubere Gedankenexperimente, aber ganz dagegen, dass man die Dinge sogenannt „populär“, d.h. falsch darstellt.
In der Anfrage war explizite von der Erde die Rede, und dann ist die „Aufgabe“ einfach Mist.
Da kannst du wohl beistimmen!
Erich
Die Kugel macht also eine harmonische Schwingung mit der
halben Schwingungsdauer (= Durchfallzeit)
T = Pi*√(m/D) = Pi*√(R³/GM)
Den Ausdruck in der Klammer kann man noch etwas vereinfachen,
wenn man die Beschleunigung an der Erdoberfläche betrachtet.
der läßt sich sogar noch besser vereinfachen, und zwar aufgrund der Tatsache, daß R³/M – bis auf einen konstanten Faktor – der Kehrwert der Dichte der (als homogen angenommenen) Erde ist:
T = π √(m/D)
= π √(R³/GM)
= π √((1/G) R³/M)
= π √((1/G) 4/3 π R³/M 1/(4/3 π))
= π √((1/G) 1/ρ 1/(4/3 π))
= √(3 π/(4 G)) √(1/ρ)
→ T ∝ ρ–1/2
Das bedeutet, daß zwei Himmelskörper genau dann dieselbe Schwingungsdauer besitzen, wenn ihre Dichte übereinstimmt! Jede Kugel (1 km groß, 1 m groß, …) die die Dichte der Erde hat, hat also ebenfalls die Schwingungsdauer 42 min.
