Ein Bauer hat eine kreisrunde Wiese mit r = 50m, nun steht genau auf der Kreislinie ein Pflock an dem er sein Schaf Melly anbinden möchte. Melly soll Flächenmäßig genau die hälfte der Wiese abgrasen können. Wie lang muß die Leine sein, die er Melly lassen darf?
Es gibt zwei Lösungswege - einmal über die Differenzialrechnung und einmal über die Vektorrechnung.
Viel Spaß damit.
25m ? OwT
25?
mfg esi
57.9365m owT
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25?
mfg esi
ups, hab falsch gelesen, hab gedacht der Pfahl steht in der mitte … ich koffa,
mfg esi
Hallo!
Ich habe es auch schon mal vor einiger Zeit gerechnet und meine in Erinnerung zu haben, daß das Verhältnis von Leinenlänge zu Radius der Wiese etwa 1.1 betragen hat. Das wäre dann eine Länge von etwa 55m.
Gruß
Michael
Kreisfläche = Pi*r²
mit r = 25m hat der „innere“ Kreis in deinem Beispiel also nur 1/4 der Fläche des „äußeren“ Kreises (mit r = 50m).
Für dein Beispiel wäre die Lösung also r = 50m * Wurzel(0.5).
Aber egal.
Viele Grüße!
Jochen
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Hier mit Rechenweg für Leute mit Giga-Langeweile
Hallo StageZero,
die Frage hatten wir bereits. Ich habe meine alte Lösung noch einmal angehängt, da ich sie im Archiv leider irgendwie nicht finden konnte.
Die Lösung lautet demnach 1.1587284730 * 50m = 57.9392365 m
Gruß
Ted
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Puh,
das ist knifflig!
Also, wenn man den Zaunpfahl in den Koordinatenursprung legt, dann wird der relevante Halbkreis durch die Funktion
F1:y=r-sqrt(r^2-x^2)
beschrieben, der Aktionsradius der Ziege sei l, dann ist ihr Auslauf beschränkt durch
F2:y=sqrt(l^2-x^2)
Diese beiden Funktionen beschreiben einen Normalbereich bezüglich der x-Achse, so das die abkaubare Fläche durch (oh Gauss, sei mir gnädig ob dieser Schreibweise)
Integral von –z bis z (Integral von F1 bis F2 1 dy)dx
gegeben ist. Etwas unangenehm ist, daß die x-Werte der Schnittpunkte von F1 und F2 ebenfalls nur mittels transienter Funktionen darstellbar sind. Also sind sie zunächst mit z und –z bezeichnet. Die Lösung für dieses Doppelintegral ist
l^2*ATAN(z/SQRT(l^2-z^2))+r^2*ASIN(z/ABS®)+z*(SQRT(l^2-z^2)+SQRT(r^2-z^2)-2*r)
Soll die Ziege genau die Hälfte abfressen, so lautet die Lösungsgleichung:
2*l^2*ATAN(z/SQRT(l^2-z^2))+2*r^2*ASIN(z/ABS®)+2*z*SQRT(l^2-z^2)+2*z*SQRT(r^2-z^2)-4*r*z=pi*r^2
Wenn man nun einen o.B.d.A. einen Einheitskreis betrachtet, also r=1 setzt, und weiterhin die Beziehung
l^2=z^2 + (1-sqrt(1-z^2))^2
ausnutzt, dann reduziert sich das Ziegenproblem auf die Lösung der folgenden transzendenten Gleichung in z:
4*(1-SQRT(1-z^2))*ATAN(z/SQRT(-2*SQRT(1-z^2)-z^2+2))+2*ASIN(z)+2*z*SQRT(-2*SQRT(1-z^2)-z^2+2)+2*z*SQRT(1-z^2)-4*z-pi=0
Ich kann mir nicht vorstellen, daß hierfür eine analytische Lösung existiert, kann dieses aber auch nicht ausschließen. Ich habe die Lösung numerisch mittels einfacher Bisektion ermittelt, man erkält:
Z=0.9444433782
L^2=1.3426516742
L=1.1587284730
Das Seil muß also 1.1587 mal so lang sein wie der Radius des eingezäunten Bereiches.
Gruß und gute Nerven beim Nachrechnen
Ted
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Hallo Ted,
die Frage hatten wir bereits. Ich habe meine alte Lösung noch
einmal angehängt, da ich sie im Archiv leider irgendwie nicht
finden konnte.
Du meinst sicher hier: http://www.wer-weiss-was.de/cgi-bin/forum/showarchiv…
die Frage hatten wir sogar schon öfters, allerdings im Rätselbrett, wo sie auch hingehört. Zu finden auch unter den Stichworten Schafrätsel und grasendes Schaf.
Jörg