Faltung, Faltungsintegral
Hallo Timo,
Wieso nennt man so ein mathematisches Objekt eigentlich Faltung?
Kann man sich das geometrisch irgendwie vorstellen?
ja, kann man!
In einem Raum möge sich ein Scheinwerfer an der Decke befinden, und genau darunter ein auf dem Boden liegender Meterstab. Der Scheinwerfer leuchtet auf den Stab. Dabei wird die Ausleuchtung nicht ganz gleichmäßig sein: An den Stabenden wird es etwas dunkler sein als in der Mitte.
Weil Dich aus irgendeinem Grund die Ausleuchtung des Stabes interessiert, möchtest Du sie ausmessen. Dazu verwendest Du einen Helligkeitsmesser, bestehend aus einer Fotozelle mit einem daran angeschlossenen, in „Helligkeit“ geeichten Ohmmeter. „Scannst“ Du damit den Meterstab in 1-mm-Schritten ab, erhälst Du 1000 Meßwerte. Am Ende kannst Du Dich über die gewünschte Funktion h(x) freuen (h = Helligkeit, x = Koordinate, x = 0 … 1 m).
So weit so gut – wenn man sich bezüglich der Funktion h(x) nicht eine Frage stellen müßte: Gibt h(x) die wirkliche Helligkeitsverteilung auf dem Stab exakt an? Was wäre denn, wenn der Stab statt 1 m nur 5 cm lang wäre? Dann müßte man sich doch Gedanken darum machen, daß die Fotozelle nicht punktförmig ist, sondern eine endliche Ausdehnung hat, z. B. einen Durchmesser von 5 mm! 5 mm sind schließlich schon 10 % von 5 cm – das ist nicht mehr vernachlässigbar!
Wir nehmen zur Kenntnis: Weil die Fotozelle eine endliche Ausdehnung hat, ist die gemessene Helligkeitsfunktion hgemessen(x) mit der wahren hwahr(x) nicht vollkommen identisch! Die endliche Ausdehnung der Fotozelle bewirkt, daß hgemessen(x) etwas „verwaschener“, etwas „unschärfer“ sein muß als hwahr(x). Das gilt prinzipiell für alle Stäbe, nur ist bei dem 1 m langen der „Fehler“ relativ gesehen nicht so groß.
Wie kann man die endliche Ausdehnung der Fotozelle mathematisch erfassen? Ganz einfach: der Fotozelle ist selbst ebenfalls eine Helligkeit-von-x-Funktion zu eigen! Man kann sie erhalten, indem man einen winzigkleinen definiert-hellen Punktstrahler (z. B. Lichtquelle mit Lochblende) etwa in 0.1 mm-Schritten über die Fotozelle wandern läßt, und die angezeigten Helligkeitswerte registriert. Die H(x)-Kurve, die dabei herauskommt, sieht so ähnlich aus wie die hier:
^ H \*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*
| \* \*
| \* \*
|\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\* \*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*
0 1 2 3 4 5 mm x ---\>
Es handelt sich in jedem Fall um einen „Buckel“, d. h. „weit draußen“ gehen die Funktionswerte stets gegen Null. Unterschiedlich ist nur dessen genaue Form (typische idealisierte Buckel: Deltazacke, Rechteckzacke, Dreieckzacke, Gaußglocke, Lorentzkurve etc.).
So, dann sind wir jetzt bereit für die große Frage: Wenn die hwahr(x) gegeben ist, und außerdem auch die H(x)-Funktion der Fotozelle, wie ergibt sich daraus hgemessen(x)?
Um dies zu beantworten, muss man sich klarmachen, daß die Fotozelle – wie auch alle anderen Meßfühler, da alle eine räumliche Ausdehnung haben – integrierend wirkt! Ihr Widerstandswert ergibt sich als Integral. Aber wie sieht die Funktion aus, über die die Fotozelle integriert? Offensichtlich müssen wir das Produkt aus hwahr mit H bilden, und zwar in dieser Form
hwahr(x’) H(x – x’)
(klar?) wobei x die Stelle ist, an der sich die Fotozelle befindet, und x’ die Integrationsvariable ist.
Also:
hgemessen(x) = ∫(x’ = 0 … 1 m) hwahr(x’) H(x – x’) dx’
Und genau dies nennt man eine Faltung :
Die gemessene Helligkeitsfunktion ergibt sich als Faltung aus der wahren Helligkeitsfunktion mit der fotozellen-eigenen Helligkeitsfunktion.
Die Funktion, welcher H(x) in dem obigen Beispiel entspricht, nennt man auch den Kern der Faltung. Jede Faltung ist eine „Ursache-Antwort-Beziehung“: Hier war hwahr die Ursache und hgemessen die Antwort, die bei einer Faltung in einem besonders häufig anzutreffenden und „angenehmen“ Zusammenhang mit der Ursache steht, nämlich einem linearen. H(x) ist die response-Funktion.
Einer „idealen“ Fotozelle mit Ausdehnung Null entspricht mathematisch übrigens eine Delta-Funktion (unendlich hohe, unendlich schmale Zacke mit Fläche 1). Bei einer Faltung mit einer δ-Funktion bleibt die gefaltete Funktion erhalten – die δ-Funktion ist quasi das „neutrale Element der Faltung“.
Mit freundlichem Gruß
Martin
