Hallo zusammen,
was ist bitte die „Faltung“ zweier Funktionen und wozu braucht man das?
Besten Dank im voraus für alle Hinweise und Tips
Tschüss und Gruß von Georg Burk
Hallo zur"uck,
das einfachste Beispiel einer Faltung ergibt sich bei der Polynommultiplikation, da gilt n"amlich
cn=sum(kkbn-k
f"ur Polynome a(t)=sum(k:=0) aktk,…
Die anderen erw"ahnten Formen der Faltung lassen sich als Verallgemeinerungen verstehen, wenn ak:=f(k),bk:=g(k), ck:=h(k), t=exp(ix) gesetzt wird, und k kontinuierlich gew"ahlt wird,
h(n)=sum(k) f(k)g(n-k)
der "Ubergang von der Summe zum Integral sei mal "ubergangen.
Die Faltung ist also rein mathematisch die Vorschrift, wie man von den Koeffizienten zweier Faktoren in einer bestimmten Basis die Koeffizienten des Produkts bestimmen kann.
MfG, Lutz
Eine Faltung ist ein Integral "uber ein Produnkt zweier Funktionen, deren Variable gleich ist, und "uber die dabei integriert wird, also Integral "uber f(x)*g(x) dx.
Z.B. kann g(x) eine irgendwie geartete intrinsische Verteilungsfunktion sein, die wir aber so nicht messen k"onnen, weil z.B. eine Messapparatur mit einem nichtkonstanten Einfluss die Messung an jedem Punkt ver"andert. Also nochmal eine Art Verteilungsfunktion. Dann ist das, was Du misst, die Faltung "uber die intrinsische Verteilung und die Verf"alschung durch die Messung. Ich kann Dir hier mal ein Beispiel aus der Astronomie nennen - stell Dir vor, Du willst wissen, wie lange Du in einem bestimmten Filter, dessen Transmissionskurve Du kennst, belichten musst. Du kennst das Spektrum des Objekts, das Du beobachten willst, also die Verteilung des Lichts (der ankommenden Photonen) auf die verschiedenen Wellenl"angen (die ‚‚intrinsische Verteilungsfunktion‘‘). Wenn Du jetzt wissen willst, wieviele Photonen durch Deinen Filter (der eine gewisse Breite hat) durchkommen, musst Du an jeder Stelle des Spektrums die Anzahl der Photonen mit der Transmission des Filters an dieser Stelle multiplizieren (dann weisst Du, wieviele Photonen der Wellenl"ange genau da durchkommen), also das Spektrum S(lambda) mit der Transmission T(lambda) multiplizieren, und dann alle Photonen aufaddieren, damit Du die Gesamtzahl kriegst. Also Summe (bzw Integral) "uber S(lambda)*T(lambda) dlambda. Das war dann eine Faltung.
Wenn Du in den Himmel guckst, und siehst verschieden helle Sterne, dann siehst Du auch eine Faltung, n"amlich die Faltung ihrer r"aumlichen Verteilungsfunktion und der Leuchtkraftfunktion.
Faltungen treten in der Natur recht h"aufig auf, und oft ist es sehr schwer (oder unm"oglich), sie wieder zu entfalten.
Hallo, Kollegin,
Eine Faltung ist ein Integral "uber ein
Produnkt zweier Funktionen, deren Variable
gleich ist, und "uber die dabei integriert
wird, also Integral "uber f(x)*g(x) dx.
Nope! Das ist keine Faltung, sondern allenfalls ein Skalarprodukt oder, wie Du bei den Sternen anführst, eine gewichtete Summe.
Die Faltung f*g zweier Funktionen f und g ist wieder eine Funktion:
(f*g)(y) = \int f(y-x)g(x) dx
Der primäre Vorteil ist, daß die Fouriertransformierte von f*g das gewöhnliche Produkt der Fouriertransformierten von f und g ist.
Faltungsprodukte treten z.B. bei Korrelationsproblemen auf, wenn das System eine Art Gedächtnis hat.
Soweit in Kürze, viel mehr weiß ich aber auch nicht. In der QFT reicht mir die FT selbst.
Mit kollegialem Gruß
Stefan
wie Du
bei den Sternen anführst, eine gewichtete
Summe.
Das ist aber in diesem Fall wirklich eine Faltung, da die Verteilungsfunktion (z.B. der stellaren Scheibe) von der absoluten Helligkeit (vom Spektraltyp, also eigentlich der Masse) abh"angt. Die Scheibe ist eben nicht wirklich isotherm, sondern durch wenn auch seltene Zweik"orperst"osse virialisiert. Die Leuchtkraftfunktion seinerseits h"angt auch vom Ort ab - in der Dicken Scheibe befinden sich z.B. wesentlich weniger fr"uhe Spektraltypen als z.B. in der Ebene. Daher ist die Anzahldichte in Abh"angigkeit von der scheinbaren Helligkeit
N(m)=\int_0^{\Infty} \rho(r,l,b,M)\Phi(r,b,M)\omega r^2 dr
dabei ist \rho die Dichte, \Phi die Leuchtkraftfunktion, omega der Raumwinkel, r der Abstand, l und b Galaktische L"ange und Breite, m die scheinbare Helligkeit und M die absolute Helligkeit. Diese Gleichung wird als Grundgleichung der Stellarstatistik bezeichnet und l"asst sich formal l"osen. Das Problem ist dabei, dass die LKF eine gewisse Breite Delta M hat, die den Bereich der Distanzen bestimmt, die zu der beobachteten Anzahl der Sterne in einem bestimmten Helligkeitsintervall (dN(m)) beitr"agt. Je breiter dieser Bereich ist, desto mehr wird die Information "uber die Dichteverteilung verschmiert.
Das ist eine Faltung.
Hallo, Kollegin,
Das ist aber in diesem Fall wirklich eine
Faltung, da die Verteilungsfunktion
Ich glaube, daß hier wieder einmal die typisch physikalische Begriffsverwirrung vorliegt. Das Wort Verteilungsfunktion'' sagt es ja schon selbst, daß das von Dir beschriebene Integral eine gewichtete Summe ist, was wie ein simples Dichteintegral aussieht. Faltung’’ auch zu sowas zu sagen, halte ich für Küchenlatein.
Hingegen ist der Begriff ``Korrelationsfunktion’’ typisch für Faltungen. MEB hat es ganz gut beschrieben.
Ganz vordergründig vermisse ich im Sternenintegral schlicht eine Funktion, die von (x-r) abhängt, so daß das ganze Integral noch von x abhängig wäre.
Ich kann jetzt nicht mehr tun als auf die schriftlichen Autoritäten (Bronstein etc.) zu verweisen.
Sorry.
Herzlich
Stefan
Also, die effektive Breite der Leuchtkraftfunktion (Delta M) bestimmt den Bereich der Distanzen (r1-r2), die zu der Anzahl der beobachteten Sterne in einem scheinbaren Helligkeitsintervall beitragen. Wenn ein Stern der Absoluthelligkeit M im Abstand r1 zu N(m) beitr"agt, kann das auch ein anderer Stern der Absoluthelligkeit M+DeltaM im Abstand r2. Je gr"osser also Delta M ist, desto gr"osser wird auch das Intervall der Distanzen, die zu der Z"ahlung der scheinbaren Helligkeiten beitragen.
Hallo, Kollegin,
diese Fußangel mit dem \Delta M und den beiden Abständen r1 und r2 habe ich jetzt erfaßt.
Laß mich weiter fragen: Wie sind in der Integralformel (die Hauptgleichung der Stellarstatistik) die Größen m und M miteinander verbunden? Auf rhs vermisse ich das kleine m für die scheinbare Helligkeit.
In froher Erwartung feiner Diskussion
Stefan
Guten Morgen Kollege,
die scheinbare Helligkeit ist mit der absoluten Helligkeit "uber das ‚‚Entfernungsmodul‘‘ verkn"upft: wenn der Abstand d in Parsec gemessen wird, gilt
m-M = 5 log d - 5
Frohes Schaffen!
Mahlzeit, Kollegin,
dieser parsec-Formel zufolge wird dann die Variable M im Sternenintegral als von r abhängig betrachtet?
Guten Appetit nachträglich
Stefan
dieser parsec-Formel zufolge wird dann die
Variable M im Sternenintegral als von r
abhängig betrachtet?
Morgen, Kollege!
Die absolute Helligkeit h"angt zun"achst mal vom Spektraltyp und Leuchtkraftklasse ab, also je mehr Masse, desto heller, und Rote Riesen sid heller als Rote Zwerge bei gleichem Spektraltyp, weil ihre Oberfl"ache viel gr"osser ist. Die Leuchtkraftfunktion bringt eine ganz andere Abh"angigkeit vom Abstand ins Spiel - die Leuchtkraftfunktion ist die Anzahl der Sterne pro absoluter Helligkeit pro Einheitsvolumen (z.B. pro Kubikparsec).Die "andert sich einmal nat"urlich mit der Zeit, weil sich massereiche (helle) Sterne schneller entwickeln als massearme, und damit das helle Ende der LKF mit der Zeit runter geht. Zum anderen (und das das h"angt damit zusammen) "andert sie sich mit dem Ort. Also, der Bulge etwa enth"alt nur sehr alte, rote Sterne, weil er eine sehr alte Komponente der Milchstrasse ist, blaue, helle O und B Sterne gibt es hier schon lange nicht mehr. In der d"unnen Scheibe dagegen bilden sich nach wie vor Sterne, es gibt hier also auch noch blaue, helle Sterne. Die Scheibe selber ist aber nat"urlich auch nicht homogen, sondern die verschiedenen Spektraltypen haben verschiedene Skalenh"ohen (die Dichteverteilung in der Scheibe l"asst sich mit einer Summe aus Exponentialfunktionen beschreiben) - wegen der Virialisierung vermutlich. Das heisst, die Leuchtkraftfunktion ist vom Abstand (bzw eigentlich von der Verteilungsfunktion in Abh"angigkeit vom Spektraltyp) und der betrachteten Komponente der Galaxie abh"angig - wenn Du nur etwa 100 pc aus der Scheibe rausguckst wirst Du etwas anderes sehen, als wenn Du 30 kpc rausguckst. Also Phi=Phi(M,r,l,b). Dazu kommt dann noch, dass Du helligkeitslimitiert bist, das heisst, einen M5 Stern etwa wirst Du bei einer Grenzhelligkeit von m=23 mag nur bis etwa 1 kpc sehen, sehr helle delta Cepheiden aber noch in fremden Galaxien. Du verlierst also systematisch Sterne (das kann man aber korrigieren). Jaja, so ist das. Ich muss jetzt aber mal wieder ‚n bisschen forschen.
Morgen flieg‘ ich nach Spanien, beobachten. Frohes Schaffen!
Buenas dias, Signora,
so viel Text von Euch beiden muß ich erst mal noch verdauen, bis ich in der Stellarstatistikformel die Faltung finde, die ich gerne hätte.
Ich wünsche Dir gutes Wetter und gutes Essen!
Wir treffen uns ja immer wieder,
bis bald
Stefan
Buenas dias, Signora,
so viel Text von Euch beiden muß ich erst
mal noch verdauen, bis ich in der
Stellarstatistikformel die Faltung finde,
die ich gerne hätte.
Du kannst Dir ja die Formel auf ein St"uck Papier schreiben und dann ein Schiffchen falten!!
Gruss vom Berg!
Ein paar Hinweise dazu…
Bulge
Astronomen-Latein
Damit ist der Kern der Galaxis gemeint.
Scheibe
Das ist mitunter auch nicht offensichtlich,
so werden i.a. die Spiralarme bezeichnet
(da es so schwierig ist, einzelne Arme
in Mathematik zu fassen, machen sich die
Astronomen das Leben leicht und degradieren
die Spiralarme insgesamt zu einer Scheibe;
fuer statistische Betrachtungen oder
Galaxienentwicklung insgesamt oftmals
ausreichend).
delta Cepheiden
Das sind Sterne, die ihre Helligkeit
periodisch veraendern. Sie pulsieren,
veraendern also ihren Oberflaecheninhalt.
Sie sind deshalb noch so weit entfernt sichtbar, weil sie zu den Riesensternen
gehoeren.
Morgen flieg’ ich nach Spanien,
beobachten.
Calar Alto?
Viel Spass und gutes Wetter!
MEB
Scheibe
Das ist mitunter auch nicht
offensichtlich,
so werden i.a. die Spiralarme bezeichnet
(da es so schwierig ist, einzelne Arme
in Mathematik zu fassen, machen sich die
Astronomen das Leben leicht und
degradieren
die Spiralarme insgesamt zu einer
Scheibe;
Das ist nicht wahr. Erstens kann man die vertikale Verteilung in den Armen ganz gut mit einem Gauss beschreiben, zweitens sind die Arme nur bei grossen Helligkeiten dominant. In R siehst Du gar keine Arme.
Ich kann Dir Dichteprofile zeigen (bis 30 kpc "uber die Ebene), die ganz eindeutig die exponentielle Abh"angigkeit der Verteilung zeigen - mit einer Skalenh"ohe von etwa 280 pc f"ur die d"unne und 1 kpc f"ur die dicke Scheibe. Mein Paper ist submittiert, aber noch nicht accepted, sonst w"urde ich Dir ein preprint schicken (’‚CADIS deep star counts: Galactic structure and stellar luminosity function‘’).
Calar Alto?
Viel Spass und gutes Wetter!MEB
Ja, danke! Hast Du da auch schon beobachtet?
Das ist nicht wahr. Erstens kann man die
vertikale Verteilung in den Armen ganz gut
mit einem Gauss beschreiben,
Ich hatte die radiale Verteilung gemeint.
zweitens sind
die Arme nur bei grossen Helligkeiten
dominant. In R siehst Du gar keine Arme.
Hierzu eine Frage:
Was meinst Du mit grossen Helligkeiten?
Leuchtkraeftige Sterne? Oder (da Du ueber
das photometrische Band R sprichst) meinst
Du verschiedene Spektralbereiche? Bedeutet
das, dass leuchtschwaechere Sterne (die ja
mehr in R strahlen) oefter zwischen den
Spiralarmen „tanzen“ als leuchtstaerkere
(koennte ich mir vorstellen, da die
schwachen ihr Leben laenger geniessen
koennen als die hellen, demzufolge mehr
Zeit haben, „aus der Reihe zu tanzen“)?
Calar Alto?
Viel Spass und gutes Wetter!Ja, danke! Hast Du da auch schon
beobachtet?
Petrus’ Rachgelueste trafen uns hart und
bescherten die sierra de los filabres mit
Regen, Sturm und "Daeumchendreh"wetter…
Ich war also schon dort, hatte aber das
Vergnuegen, Wolkenloch-Spektroskopie zu
betreiben.
Gruesse
MEB
Ich hatte die radiale Verteilung gemeint.
Na ja, das ist eine logarithmische Spirale…
Die Spiralarme sind ja Dichtewellen, bzw. Potentialsenken. Hierdrin bilden sich die Sterne, und dann wandert die Dichtewelle weiter (so wie bei einem Stau an Wanderbaustellen auf der Autobahn). Deshalb sind die Arme (noch) blau.
Petrus’ Rachgelueste trafen uns hart und
bescherten die sierra de los filabres mit
Regen, Sturm und "Daeumchendreh"wetter…
Ich war also schon dort, hatte aber das
Vergnuegen, Wolkenloch-Spektroskopie zu
betreiben.Gruesse
MEB
Oh ja, ich habe sicher auch schon einen Monat meines Lebens auf dem Calar Alto im Regen oder Schneetreiben oder Nebel vor dem Fernseher gesessen…aber ich hatte auch schon sehr gute Kampagnen, wo’s 12 N"achte am St"uck photometrisch war. Mal sehen, jetzt hab’ ich mal wieder acht N"achte, wird ja wohl mal was dabei sein.
Wo warst Du denn damals, in Deiner Astronomen-Zeit? Ich meine, an welchem Institut?
Die Spiralarme sind ja Dichtewellen, bzw.
Potentialsenken. Hierdrin bilden sich die
Sterne, und dann wandert die Dichtewelle
weiter (so wie bei einem Stau an
Wanderbaustellen auf der Autobahn).
Deshalb sind die Arme (noch) blau.
Das leuchtet ein.
Wo warst Du denn damals, in Deiner
Astronomen-Zeit? Ich meine, an welchem
Institut?
Thueringer Landessternwarte
Gruesse
MEB
Thueringer Landessternwarte
Gruesse
MEB
Und warum jetzt ETechnik?? Wunder…
Wetter ist "ubrigens richtig gut…
Leute, Leute…
Ihr hoert Euch fuer einen Nichtphysiker
an – wie ich in einem guten Buch mal
gelesen habe – wie ein Einwohner aus
Korfu: 
intrinsische Verteilungsfunktion
Leuchtkraftfunktion
Fouriertransformierte
Korrelationsprobleme
QFT (ich nehme mal an, das ist die
Fachexpertenabkuerzung fuer Quanten-
feldtheorie)
Die Faltung ist eine mathematische
Operation, bei der aus zwei Funktionen
eine neue entsteht (Integration, siehe
Artikel vor mir). Die wohl groesste
Bedeutung erlangt die Faltung in der
Signalverarbeitung (die Physiker ziehen
den Begriff Messtechnik vor). Sie begegnet
uns schon bei der Messung selbst: Wenn wir
eine Eigenschaft (ein Signal) messen wollen,
tun wir das mit einem Messgeraet. Zum
Beispiel, wir haben vor, die Spannung aus
der Steckdose zu ermitteln. Wir nutzen dazu
ein Voltmessgeraet. Was zeigt das Geraet nun
an? Es zeigt eine ganz bestimmte Spannung
von 230V an. Das ist korrekt. ABER: Wir
wissen auch, aus der Steckdose kommt eine
Wechselspannung, d.h. die Spannung
veraendert sich, und zwar 50 mal in einer
Sekunde. Das Messgeraet zeigte trotzdem eine
scheinbare Gleichspannung an, weil
– meinetwegen – die Nadel des
Messinstrumentes zu traege ist, die 50
Schwingungen in einer Sekunde zu verfolgen.
Wir halten also fest, dass Messinstrumente
(Voltmessgeraet) das Signal (Wechselspannung
aus der Steckdose) in irgendeiner Weise
veraendern. Ich kann nun einen
Oszillographen benutzen und damit das
Signal der Steckdose analysieren und ich
werde die Wechselspannung sehen, weil dieses
Geraet keine traegen Nadeln hat. Es haengt
also vom Messgeraet ab, in welcher Weise
es das Signal, das analysiert werden soll,
veraendert wird. Genau da kommt die
Faltung ins Spiel. Es werden zwei Funktionen
miteinander verrechnet, heraus kommt eine
dritte. Eine der beiden Funktionen, die
„gefaltet“ werden, ist das Signal der Steck-
dose, die andere ist eine Funktion, die die
Eigenschaften des Messgeraetes beschreibt.
Das Ergebnis der Faltung ist das Signal,
das wir dem Messinstrument entnehmen (entweder das gleichbleibende Signal des
Voltmeters oder die Anzeige des
Oszillographen).
Ich hoffe, mit dem Beispiel eine einfach
verstaendliche Variante, die Bedeutung der
Faltung zu beschreiben, gefunden zu haben.
Gruesse
MEB