Hallo,
hier meine Aufgabe für Denksport-Fans:
Ein Faß hat vier Auslaufhähne.
Wenn man den Ersten öffnet, braucht das Faß 15 Minuten zum Leerlaufen.
Beim Zweiten 30 Minuten.
Beim Dritten 45 Minuten.
Beim Vierten 60 Minuten.
Hier die Frage:
Wie lange braucht das Faß zum leerlaufen, wenn man gleichzeitig alle vier Hähne öffnet?
Viel Spaß beim Lösen, Peter
Hahn 1 schafft 1Faß/15 Minuten = 12 Fässer / 180 Minuten
Hahn 2 schafft 1Faß/30 Minuten = 6 Fässer / 180 Minuten
Hahn 3 schafft 1Faß/45 Minuten = 4 Fässer / 180 Minuten
Hahn 4 schafft 1Faß/60 Minuten = 3 Fässer / 180 Minuten
Alle zusammen schaffen also 25 Fässer / 180 Minuten, brauchen für ein Faß also 7,2 Minuten.
Gruß
Ted
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Nur eine kleine Anmerkung:
Aufgabe ist ja schon gelöst… aber der Algorithmus bei dieser Art von Problemen ist doch simpler Dreisatz:smile:)))
Nur eine kleine Anmerkung:
Aufgabe ist ja schon gelöst… aber der
Algorithmus bei dieser Art von Problemen
ist doch simpler Dreisatz:smile:)))
Hi Knut,
das ist in dieser Form nicht ganz richtig!
*ziehtsichdaserbsenzählerkostümüber*
Dreisatzaufgaben der ersten Art setzen voraus, daß die Zuordnung der beteiligten Größen proportional ist, bei Aufgaben der zweiten Art ist diese Zuordnung antiproportional. Keiner der beiden Fälle trifft hier jedoch zu, es handelt sich wegen des angegebenen Durchsatzes der Hähne vielmehr um ein Problem des gewichteten arithmetischen Mittels. Es ergibt sich damit eine gewisse Analogie zu Aufgaben, welche sich mit Geschwindigkeiten beschäftigen. Wenn Du auf dem Hinweg 50 km/h fährst, auf dem Rückweg dann 150 km/h, so war Deine Durchschnittsgeschwindigkeit eben nicht 100 km/h.
Haarspalterischen Gruß
Ted
Hallo Ted!
Du hast recht mit der Aussage, daß die Bestimmung der Alle-Hähne-Geöffnet-Auslaufzeit natürlich nichts mit Dreisatz zu tun hat. Das arithmetische Mittel ist an diesem Problem aber auch nicht beteiligt! Um die Alle-Hähne-Geöffnet-Auslaufzeit zu erhalten, muß lediglich eine Summe berechnet werden, aber nicht die der *Widerstände* der Hähne, sondern die ihrer *Leitwerte*. Das Maß für den Widerstand eines bestimmten Hahns ist einfach die Zeit, in der das Faß ausläuft, wenn ausschließlich dieser Hahn geöffnet ist. Es ist also physikalisch korrekt, zu sagen, daß der Hahn 1 einen Widerstand von 15 min hat, und Hahn 3 einen doppelt so hohen Widerstand von 30 min usw. „Leitwert“ ist genau wie bei den elektrischen Widerständen definiert als Kehrwert des Widerstandes („G = 1/R“). Da ein Faß mit mehreren Hähnen tatsächlich analog zu einer Parallelschaltung von elektrischen Widerständen ist, gilt hier wie da:
G(gesamt) = G1 + G2 + … + Gn
und damit wegen G = 1/R:
1/R(gesamt) = 1/R1 + 1/R2 + … + 1/Rn
Schreibt man für die Hahnwiderstände nach dem oben Gesagten t statt R, so erhält man für die Alle-Hähne-Geöffnet-Auslaufzeit
1/t(alle) = 1/t1 + 1/t2 + 1/t3 + 1/t4
Etwas anders liegen die Dinge bei der Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit: Der liegt tatsächlich ein (ungewichteter) Mittelwert zugrunde. Es gilt:
1/v(Durchschnitt) = (1/v1 + 1/v2)/2
bzw. bei n Wegstücken
1/v(Durchschnitt) = (1/v1 + 1/v2+ … + 1/vn)/n
Die Teilung durch n ist das, was die Mittelwert-Bildung von einer simplen Summe unterscheidet (und bei dem Faß-Problem und den parallelgeschalteten Widerständen fehlt).
Ein bekanntes Beispiel, wo ein *gewichteter* Mittelwert auftritt, ist der (lineare) inelastische Stoß. Für die „Nachher“-Geschwindigkeit zweier Stoßpartner (Massen m1, m2, Geschwindigkeiten v1, v2) gilt bekanntlich:
v(nachher) = (m1 v1 + m2 v2) / (m1 + m2)
Als „Gewichte“ treten hier die Massen m1 und m2 auf (bei gleichen Massen erhält man den ungewichteten Mittelwert (v1+v2)/2 als Spezialfall). Weitere Probleme, die auf gewichtete Mittel führen, sind z. B. der Temperaturausgleich (mit den Wärmekapazitäten als Gewichte), Mischen von unterschiedlich stark konzentrierten Lösungen (mit den Volumina als Gewichte), Zusammenschaltung von auf unterschiedliche Spannungen geladener Kondensatoren (mit den Kapazitäten als Gewichte) und der Massenschwerpunkt (mit den Massen als Gewichte). Ein gewichtetes arithmetisches Mittel läßt sich immer als „Schwerpunkt“ (nicht nur von Massen, sondern auch anderer Größen, s. o.) interpretieren.
Gruß
Martin
Hi Martin,
das Beispiel mit den Widerständen war genau das, was mir gefehlt hat. Insgesamt sind Deine Ausführungen natürlich völlig korrekt.
Gruß
Ted