Fassformel?

Wissenschaft Physik
#1

Hallo,

vor mir liegt ein Fass mit genau definierter Wölbung der Wand. Eben wie in einem Weinkeller. Nun möchte ich anhand des Füllstandes (gemessen durch das Spundloch mit Messstab) die im Fass enthaltene Flüssigkeitsmenge berechnen. Bin kein Mathematiker, aber gibt es dafür eine Formel? Für einen Zylinder dies zu berechnen ist ja noch einfach. Aber für ein Fass mit dieser „runden“ Wandung? Es kommt ja nicht genau auf den Liter an. Zur Zeit schätze ich mal so, Fass wiegen geht auch kaum. Aber dies ist ja nicht die Lösung. Zumal die Fässer unterschiedlich gross sind.

Danke,

André

#2

Hallo,

vor mir liegt ein Fass mit genau definierter Wölbung der Wand.
Eben wie in einem Weinkeller. Nun möchte ich anhand des
Füllstandes (gemessen durch das Spundloch mit Messstab) die im
Fass enthaltene Flüssigkeitsmenge berechnen. Bin kein
Mathematiker, aber gibt es dafür eine Formel? Für einen
Zylinder dies zu berechnen ist ja noch einfach. Aber für ein
Fass mit dieser „runden“ Wandung? Es kommt ja nicht genau auf
den Liter an. Zur Zeit schätze ich mal so, Fass wiegen geht
auch kaum. Aber dies ist ja nicht die Lösung. Zumal die Fässer
unterschiedlich gross sind.

Es gibt die Keplersche Fassformel. Dazu findet sich z.B. folgende wirklich gute Abituraufgabe nebst Erklärungen des Lehrers:

http://www.bezreg-duesseldorf.nrw.de/schule/mathe/ab…

Gruß

Fritze

#3

das Fass LIEGT!!!
daher klappt es mit dieser Fassformel nicht!!

André

#4

Hallo,

vor mir liegt ein Fass mit genau definierter Wölbung der Wand.
Eben wie in einem Weinkeller. Nun möchte ich anhand des
Füllstandes (gemessen durch das Spundloch mit Messstab) die im
Fass enthaltene Flüssigkeitsmenge berechnen. Bin kein
Mathematiker, aber gibt es dafür eine Formel? Für einen
Zylinder dies zu berechnen ist ja noch einfach. Aber für ein
Fass mit dieser „runden“ Wandung? Es kommt ja nicht genau auf
den Liter an. Zur Zeit schätze ich mal so, Fass wiegen geht
auch kaum. Aber dies ist ja nicht die Lösung. Zumal die Fässer
unterschiedlich gross sind.

Bei meinem Loesungsversuch nehme ich 'mal folgendes an:
a) Der Radius des Fasses, wo Du die Fuellhoehe bestimmst sei Rg.
b) Du kennst diesen besagten groessten Radius Rmax.
c) Der kleinste Radius am Boden und Deckel sei Rmin.
d) Das Fass hat eine Form, die als parabolisch beschrieben werden kann: r(h) = Rmax - D r^2. Die „Hoehe“ h sei hierbei gemessen ab der Mitte des Fasses, d.h. der Deckel habe Hoehe h0, der Boden Hoehe -h0.
Die von Dir bestimmte Fuellhoehe sei f.

Dann wollen wir 'mal.
I)
Zuerst bestimmen wir die Konstante D mittels des bekannten kleinsten Fassradius:
Rmax - D h0^2 = Rmin
D = (Rmax - Rmin) / (h0^2)

II)
Dann berechnen wir den Winkel zwischen hypothetischen Mittelachse des Fasses und der Fluessigkeitsoberflaeche, wobei der Winkel > 180 Grad ist, wenn die Fuellhoehe hoeher als die Haelfte des Durchmessers ist. Zeichnungen dieser Art sind hier schwierig, deshalb nur das Ergebnis:
Theta = 180 - 2*arcsin(1 - f/Rg) falls f g
Theta = 180 + 2*arcsin(f/Rg-1) falls f > Rg

III) Nun kennen wir den Flaechenanteil, den die Fluessigkeit bezueglich des Deckels, Bodens, oder einer anderen beliebigen Kreisflaeche durch das Fass einnimmt:
A® = pi r(h)^2 * Theta/360
wobei r(h) wie oben angegeben ist.
Nun koennen wir, um das Volumen zu erhalten, ueber die Hoehe des liegenden Fasses integrieren:
V = int_(-h0)^(h0) A dh (Integration von -h0 bis h0 ueber die Flaeche A)
V = Theta / 360 * pi * int_(-h0)^(h0) Rmax - (Rmax - Rmin)/(h0^2)h^2 dh
V = Theta / 360 * pi * 2 * h0 *(Rmax - (Rmax - Rmin)/3
V = Theta / 360 * pi * 2 * (2/3 Rmax + 1/3 Rmin) h0

So, das muesste’s sein, wenn ich mich nicht vertan habe

Gruss
Ingo

#5

Da ich kein Fassexperte bin: Ist dieses Spundloch in der Mitte des liegenden Fasses, also an der Stelle des groessten Durchmessers ?

Gruss Moriarty

#6

Na, Moritary,
in der Regel ist das so, denn wie sollte man sonst ein liegendes Faß (voll) füllen?
Gruß
Eckard.

#7

Danke! (muß das erst mal verdauen) owT
.

#8

Mich macht folgendes stutzig:

III) Nun kennen wir den Flaechenanteil, den die Fluessigkeit
bezueglich des Deckels, Bodens, oder einer anderen beliebigen
Kreisflaeche durch das Fass einnimmt:
A® = pi r(h)^2 * Theta/360

Beschreibt das nicht eine Flaeche eines Kreis_sektors_ mit dem Winkel Theta ?
Gesucht ist aber doch die Flaeche eines Kreis_abschnitts_ ?

Mir kommt die resultierende Formel ein bischen einfach vor …

Ich werd jetz’ auch mal ein bischen 'rumrechnen…

Gruss Moriarty

#9

Neue Fassformel
Hi Moriarty,

Mich macht folgendes stutzig:

III) Nun kennen wir den Flaechenanteil, den die Fluessigkeit
bezueglich des Deckels, Bodens, oder einer anderen beliebigen
Kreisflaeche durch das Fass einnimmt:
A® = pi r(h)^2 * Theta/360

mich auch. Abschreiben sollte man richtig koennen. Die richtige Formel fuer die Flaeche muss lauten:
A® = pi r^2 * Theta/360 - (r-f) * r * sin(Theta/2) wobei r=r(h)
ich vergass, die Dreiecksflaeche hier zu subtrahieren. Ausserdem, so faellt mir auf, habe ich das Quadrieren von r vergessen. Obige Formel fuer A® gilt fuer fr kann man sich somit das Volumen, das Luft im Fass einnimmt ausrechnen und dann mittels des Volumens des Fasses das Fluessigkeitsvolumen. Der Rest geht dann genauso nur mit etwas modifiziertem A weiter:

A® = [pi * Theta/360 - sin(Theta/2)][Rmax - (Rmax - Rmin)/(h0^2)h^2]^2 + sin(Theta/2)*f*[Rmax - (Rmax - Rmin)/(h0^2)h^2]
Nun koennen wir, um das Volumen zu erhalten, ueber die Hoehe des liegenden Fasses integrieren:
V = int_(-h0)^(h0) A dh (Integration von -h0 bis h0 ueber die Flaeche A)
V = int_(-h0)^(h0) [pi * Theta/360 - sin(Theta/2)][Rmax - (Rmax - Rmin)/(h0^2)h^2]^2 + sin(Theta/2)*f*[Rmax - (Rmax - Rmin)/(h0^2)h^2] dh
= 2*( Rmaxh - E/3 h^3 f sin(Theta/2) + [pi Theta / 360 - sin(Theta/2)][Rmax^2 - 2/3 RmaxE h^2 + 1/5 E^2 h^4]h
wobei h = h0 und E = (Rmax-Rmin)/(3h0)

Das laesst sich jetzt noch ein wenig vereinfachen, indem man ein paar h0 herauskuerzt, habe jetzt aber keine Zeit dazu. Ich hoffe, es ist jetzt richtig.

Gruss und Danke an Moriarty

Ingo *dersichaergert,gesternabendgleich2xMuellgepostetzuhaben*

#10

Zusatzfrage
Hallo,
ich hab mir das jetzt nicht 100% überlegt, aber hängt der Winkel (theta) nicht vom Ort (h) ab? (die Sekante ist unterschiedlich lang, der Abstand bleibt aber gleich)

Cu Rene

#11

Hallo,

nur kurz: das Fass ist zylindersymmmetrisch. Der Winkel Theta haengt nicht von der Position bezueglich der Hoehe des Fasses (wenn es richtig staende, nicht laege) ab. Sehr wohl aber von der Fuellhoehe.

Gruss
Ingo

#12

Da der Kreisradius des Schnittkreises als Funktion der „Hoehe“ variiert, der Fuellstand jedoch gleich bleibt, ist der Kreisabschnitt bei jeder „Hoehe“ nicht aehnlich zu jedem Kreisabschnitt bei einer anderen „Hoehe“

Gruss Moriarty

#13

Richtige Formel
Stellen wir uns ein stehendes Fass vor: Das habe die Hoehe 2*h (weils leichter zu rechnen ist), an der dicksten Stelle den Radius R und an Deckel und Boden den Radius G*R, (G

#14

das Fass schneiden wir senkrecht durch. Senkrecht. Immer verwechsle ich das.

Gruss Moriarty

#15

also für Nichtmathematiker nicht lösbar?
Ich rauf mir die Haare!

André

#16

Hallo André,
ich bin auch kein Mathematiker :smile:
Ich glaube aber, nachdem ich mir das Problem genauer angesehen habe, daß, falls es eine Lösung gäbe, du sie in deiner Ausbildung als Winzer gelernt hättest. Die Formel steht aber nicht mal in einer guten mathematischen Formelsammlung (z.B. Bronstein).
Ich würde dir also (als Experimentator) empfehlen das Faß auszulitern, also z.B. 10-Liter-weise Wasser (oder Wein) reinschütten und die jeweilige Füllhöhe notieren. Mit der so erstellten Tabelle weißt du dann auf 10 Liter genau, wieviel du noch im Faß hast.

Cu Rene

#17

Hallo,

nur kurz: das Fass ist zylindersymmmetrisch. Der Winkel Theta
haengt nicht von der Position bezueglich der Hoehe des Fasses
(wenn es richtig staende, nicht laege) ab.

Das Faß liegt aber doch!
Außerdem habe ich mir deine letzte Formel nochmal angesehen, und finde die schließende runde Klammer (die erste geöffnete) nicht. Außerdem scheint es ein dimensionsproblem zu geben, da Größen mit der Dimension m^2 mit solchen mit der Dimension m^4 addiert werden, sowas deutet normalerweise auf einen Rechen- oder Tippfehler hin.
Dies soll übrigens keine Kritik, sondern nur ein Hinweis sein. Ich selbst habe es aufgegeben die Integration zu versuchen, als ich die Formel gesehen habe.

Cu Rene

#18

Hi Rene,

hab ich ja schon gemacht, das mit dem Auslitern, aber das es so schlimm mit der Rechnerei sein kann??? Es ist doch eigentlich eine ganz klare, einfache Frage. Das dies so schwer zu berechnen sei, wer hätte das gedacht? Danke trotzdem. Und die endgültige Lösung würde mich dennoch interessieren.

André

#19

Auch fuer Mathematiker nicht geschlossen loesbar (glaube ich). D.h. aus dem Integral geht keine Formel hervor. Macht aber nicht so viel… Mann kann das in einen Computer tun, und eine Tabelle erstellen. So eine Tabelle koennte ich z.B. errechnen. In die Tabelle geht der Fuellstand ein, aus der Tabelle geht dann hervor, wieviel % des Fasses gefuellt sind.
Wie sind denn so typische Daten fuer das Verhaeltnis zwischen Fassdicke und Boden/Deckeldurchmesser ?

Gruss Moriarty

#20

einfacher, ihr umstandsbolzen
nimm doch den mittelwert des innenwanddurchmessers und die zylinderformel - ansonsten brauchst du wirklich eine exakte definition der daubenwölbung - ist sie kreisförmig, paraboloid, hyperboloid…

Frank