Fehler des Mittelwertes fehlerbehafteter Größen

Wissenschaft Physik
#1

Hallo,

bei der normalen Mittelwertbestimmung von statistisch verteilten Werten nimmt man ja als Fehler die Standardabweichung geteilt durch die Wurzel der Anzahl der Werte an. Dass diese einzelnen Werte selbst einen Fehler haben wird dabei aber nicht berücksichtigt.

Anders formuliert: Wie lautet mein Fehler, wenn ich eine Größe mit einer gewissen Meßgenauigkeit mehrmals messe und darüber den Mittelwert bilden möchte (z.B. am Oszilloskop mehrere Maxima der gleichen stehenden Welle)?

Wäre es z.B. erlaubt die Gaußsche Fehlerfortpflanzung auf die Formel der Mittelwertbildung anzuwenden?

Vielen Dank im Voraus,

Christian

#2

Moin,

bei der normalen Mittelwertbestimmung von statistisch
verteilten Werten nimmt man ja als Fehler die
Standardabweichung geteilt durch die Wurzel der Anzahl der
Werte an.

das ist eine Möglichkeit, den zufälligen Fehler dieser Messung zu erhalten.

Dass diese einzelnen Werte selbst einen Fehler haben
wird dabei aber nicht berücksichtigt.

Richtig.
Den systematischen Fehler des Messgerätes kannst Du damit nicht beeinflussen. Den musst Du zum Schluss einfach zu Deinem zufälligen Fehler addieren.

Olaf

#3

Den systematischen Fehler möchte ich unberücksichtigt lassen. Ich weiß, der Mittelwert dient dazu meine Messung genauer zu machen indem der statistische Fehler kleiner ist als mein Meßfehler. Aber was mache ich, wenn ich z.B. dreimal die Spannung U=(8 ± 0.5)mV messe (mal abgesehen davon die Aufgabenstellung anzuzweifeln :wink: ). Der Fehler des Mittelwertes und damit meines Versuchsergebnisses wäre damit Null, was ja völlig an der Realität vorbeigeht.

#4

Hallo,

ich denke, auch die _Fehler_ der Einzelmessungen und die Ungenauigkeit des Meßgerätes addieren sich (was mmit der Fehlerfortpflanzung gerechnet werden kann).

Nehmen wir mal beide Extremfälle:

  1. Meßfehler ohne Geräteungenauigkeit

Jeder Meßfehler hat eine statistische Abweichung vom wahren Wert. Diese statistischen Fehler führen zu einem Fehler des Mittelwertes (M), der sich zB. als Standardfehler (SE) angeben läßt.

  1. KEINE Meßfehler aber gegebene Geräteungenauigkeit

Jede Messung liefert exakt den wahren Wert. Allerdings kann dieser Am gerät nicht genau abgelesen werden, so dass ein konstant breiter Bereich angegeben werden muss, in dem der eigentliche Wert liegt. Wenn mehrmals gemessen wird, so ist auch M korrekt, aber das Unschärfe-Intervall verändert sich nicht (Du hast das Beispiel gebracht, dass auch bei 10 Messungen mit einem Meßwert von 8+/-0,5 der Mittelwert nicht genauer als +/-0,5 bestimmt ist).

Nun die Mischung beider Fehler:

Wenn einer der beiden Fehler gegenüber dem anderen Vernachlässigbar ist, weicht es aus, nur den Fehler mit größeren Beitrag zu betrachten.

Haben beide Fehler einen ähnlichen Einfluss, kann man den SE des Mittelwerts wie gewohnt ausrechnen und sich dann überlegen, dass jeder der Messwerte irgendwo im Unschärfebereich (M+/-d) liegen kann. Im schlimmsten Falle wären alle wahren Werte um d kleiner oder alle um d größer als die Messwerte (im besten Falle wären manche größer und manche kleiner, was sich auch wieder rausmittelt).

Wenn systematische Effekte eine Rolle spielen, muss man von den ungünstigsten Fällen ausgehen, was die Schätzung von M entsprechend verschieben würde: als Fehler für M ergäbe sich schlicht die Summe aus SE und d.

Kann hingegen davon ausgegangen werden, dass die wahren Werte statistisch irgendwo im Unschärfebereich liegen, werden sich die Einflüsse der Messungenauigkeit auch rausmitteln. Gesehen als Streumaß mit der selben Dimension wie die Messgröße sollte der Fehler für die Messungenauigkeit von M etwa d/Wurzel(n) sein, wobei n der Stichprobenumfang ist.

Die beiden Größen, SE und d/Wurzel(n), können mit dem Fehlerfortpflanzungsgesetz kombiniert werden. Wegen der additiven Effekte ergibt sich als Gesamtfehler Wurzel(SE² + d²/n).

Das ganze ist nur eine Abschätzung und nichts Exaktes. Vielleicht gibt es auch ein mathematisch exaktes Modell für sowas; das kenne ich aber nicht.

LG
Jochen