Hallo,
ich möchte nach einer Fixpunkt-Iterationsaufgabe eine Fehlerabschätzung machen und mit der Formel
|x-x_{n}|
die Schritte ermitteln bis der Fehler kleiner als 10^-12 ist.
Kann mir jemand erklären was ich für dieses „L“ einsetzen muß, ich habe schon rausgefunden das es Kontraktionszahl heißt, verstehe aber nicht wie sie berechnet wird.
Gruß JMo
Hallo =)
ich möchte nach einer Fixpunkt-Iterationsaufgabe eine
Fehlerabschätzung machen und mit der Formel|x-x_{n}|
die Schritte ermitteln bis der Fehler kleiner als 10^-12 ist.
Kann mir jemand erklären was ich für dieses „L“ einsetzen muß,
ich habe schon rausgefunden das es Kontraktionszahl heißt,
verstehe aber nicht wie sie berechnet wird.
Du musst hier dein L anpassen, sodass die Formel stimmt. Dein L setzt du irgendwie zwischen 0 und 1 und wenn du dann deine Werte einsetzt musst du dein L dementsprechend ansetzen.
Kannst ja am besten mal deine komplette Aufgabe hier reinstellen und dein Lösungsansatz, dann kann man besser weiterhelfen.
MfG, Christian
Hallo,die Aufgabe lautete:
Man bestimme mit dem Fixpunktsatz eine Lösung von
x*e^x = 1
(a) es sind vier Iterationsschritte durchzuführen; der Fehler ist abzuschätzen.
(b) wieviele Iterationschritte muß man höchstens durchführen, damit der Fehler kleiner als 10^-12 ist?
Als Lösungsansatz habe ich erstmal den Term zu x = 1/(e^x) umgestellt.
Als Startwert für die Iteration habe ich 0,5 gewählt und bekomme somit
x0 = 0,5
x1 = 0,60653
x2 = 0,54523
x3 = 0,57970
x4 = 0,5600
x5 = 0,57117
…
Da ich in der ersten Teilaufgabe(a) schon die Fehlerabschätzung brauche und nicht hinbekommen habe, weiß ich auch nicht wie ich (b) lösen soll. Mein größtes Problem liegt aber eigentlich nur an diesem „L“.
Gruß JMo
Hallo JMo,
der banachsche Fixpunktsatz (den Du hier wohl benutzt) sagt, dass die Gleichung x=f(x) eine Lösung besitzt, die man durch Iteration gewinnen kann, **wenn für alle x,y aus dem Definitionsbereich gilt: |f(y)-f(x)| ≤ L*|y-x|, mit L (Dieses L heißt Kontraktionskonstante oder Lipschitz-Konstante.)
Diese Voraussetzung musst Du überprüfen, um zu wissen, ob der Fixpunktsatz hier überhaupt funktioniert. Mit Deiner Funktion f(x)=1/(e^x) habe ich z.B. (mit y≤x für alle x,y≥1/2):
|f(y)-f(x)|= f(y)-f(x)
= e^{-y}-e^{-x}
=\sum_{i=0}^\infty \frac{(-y)^i-(-x)^i)}{i!}
=\sum_{i,\mathrm{ungerade}}\frac{x^i-y^i}{i!} + \sum_{i,\mathrm{gerade}}\underbrace{\frac{y^i-x^i}{i!}}_{\le0}
\le\sum_{i,\mathrm{ungerade}}\underbrace{\frac{x^i-y^i}{i!}}_{\ge0}
\le\sum_{i=1}^\infty \frac{x^i-y^i}{i!}
=\sum_{i=1}^\infty\frac{(x-y)\sum_{k=1}^i x^{k-1}y^{i-k}}{i!}
\le\sum_{i=1}^\infty\frac{(x-y)i\cdot\left(\frac12\right)^{i-1}}{i!}
=(x-y)\cdot\sum_{i=1}^\infty\frac{\left(\frac12\right)^{i-1}}{(i-1)!}
=|x-y|\cdot e^\frac12.
Dieses exp(0.5) ist jetzt also Dein L, und damit kannst Du die Fehlerabschätzung durchführen.
Liebe Grüße
Immo**