Hallo zusammen!
Angenommen ich habe einen Messwert x ± Δx. Wenn ich nun x=0 gemessen habe und z.b. y=x² ist, kommt bei der Fehlerforpflanzung wegen der Ableitung (2*0) als Ergebnis Δy=0 raus. Es kann doch eigentlich nicht sein dass der Fehler, nur weil in der Ableitung der Messwert vorkommt, verschwindet. Gibt es da einen anderen Weg? 0 ist schließlich genauso ein Messwert wie jeder andere auch…
Vielen Dank!
Hallo,
x² ist ja ein Produkt. Hier geht die Fehlerfortpflanzung über die relativen Fehler (also über Δx/x).
Guckst Du http://en.wikipedia.org/wiki/Error_propagation findest Du
für f=aAB (mit A und B als fehlerbehafteten Größen)
(sf/f)² = (sA/A)² + (sB/B)² + 2(sA/B)(sB/B)r
wobei sA die Der Fehler von A ist und r die Korrelation zwischen A und B.
Auf Dein Problem (y=x²) übertragen ergibt sich:
(sf/f)² = (ΔX/X)² + (ΔX/X)² + 2(ΔX/X)(ΔX/X)r
(sf/f)² = 4(ΔX/X)²
Eigentlich kann man sich die Rechnung sparen, denn für X=0 ist der relative Fehler auf jeden Fall unendlich groß…
LG
Jochen
Hallo!
Was Du ausrechnen möchtest, ist ja, wie sehr der Wert von y schwanken kann, wenn x zwischen +Δx und -Δx liegt. Für y nimmst Du y = x² an.
Die Rechnung für die Fehlerfortpflanzung, die Du angewendet hast, macht sich die Taylor-Entwicklung zunutze. Dabei wird die Funktion y(x) am Entwicklungspunkt X näherungsweise als Tangente angenommen. Bei y = x² (Normalparabel) hast Du für X = 0 die x-Achse als Tangente. Wenn Du ein bisschen nach rechts oder nach links gehst, ändert sich der y-Wert nicht. Das ist intuitiv natürlich auch korrekt:
Beispiel: Δx = 0,1
⇒ x1 = -0,1; x2 = +0,1
⇒ y1 = +0,01; y2 = +0,01
Während x einen Wert von -0,1 bis +0,1 annehmen kann, schwankt y nur zwischen 0 und +0,01 (zudem sind die Werte an den Rändern des Fehlerbalkens sogar gleich!).
Das Problem für die Fehlerfortpflanzung ist nicht der Messwert 0, sondern die Tatsache, das y(x) an dieser Stelle eine horizontale Tangente hat (lokales Extremum).
Ich würde so vorgehen, wie hier beschrieben: Im Fehlerintervall die maximalen und minimalen Werte für y explizit ausrechnen und die Differenz dann als Fehler annehmen. In diesem Beispiel könntest Du dann das Ergebnis so angeben:
Y(X) = 0 ± 0,01
Das ist nicht ganz korrekt, weil Y ja nie kleiner als Null sein kann. Das ist meistens nicht relevant, deswegen lasse ich es so stehen. Alternativen wären …
Y(X) = 0,005 ± 0,005
Das gefällt mir weniger. Es gibt zwar das Intervall korrekt wieder, aber suggeriert einen falschen Erwartungswert. Oder schließlich …
Y(X) = 0 (+0,01 / -0)
Michael
Hey,
vielen Dank für eure Antworten!
Leider verstehe ich nicht so viel von der Fehlerrechnung wie ich gerne würde, da wir für das Praktikum nur eine kurze Einführung mit Kochbuch bekommen haben ohne irgendetwas herzuleiten…
Die Rechnung von Michael leifert auf jeden Fall einen Fehler mit dem man Arbeiten kann, auch wenn ich nicht verstehe warum man es so machen darf. Denn die Fehlerfortpflanzung nach Gauß ist ja:
\Delta f = \sqrt{ (\frac{\partial f}{\partial x} \Delta x)^2 + (\frac{\partial f}{\partial y} \Delta y)^2+ \ldots }
nach deiner Fehlerforpflanzun einfach ohne partielle Ableitungen:
\Delta f = \sqrt{ \Delta x^2 + \Delta y^2+ \ldots }
Da ganze sieht, nunja, etwas willkürlich für einen Außenstehenden aus 
Hallo!
Du sagst, es sähe willkürlich aus. Nunja, Fehler haben ja die Angewohnheit, dass man nicht weiß, wie groß sie tatsächlich sind. Deswegen geht es immer um eine Abschätzung und es wird ganz schön grob gerundet. Die Fehlerfortpflanzung funktioniert wie folgt:
Wie hängt der Messwert f von der Variablen x ab?
Wie ändert sich der Messwert f wenn die Varible x um Δx schwankt?
Was passiert, wenn f von mehreren Variablen abhängt?
Da aber in Deinem Fall die Messgröße y nur von x abhängt, ist es egal, ob Du mit Δy oder √(Δy)² rechnest.
Michael