Fehlerrechnung

Wissenschaft Physik
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Hi! Ich habe ein Problem mit der Fehlerrechnung.

Einleitung

Und zwar lernt man ja allerorten, dass man den Fehler einer Groesse f = f(x1, x2, x3, …), die sich aus einzelnen Messgroessen xi zusammensetzt, entweder mit dem Gauszschen Fehlerfortpflanzungsgesetz

Δf = sqrt(∑((∂f/∂xi)2 (Δxi)2))

feststellt, oder den Groesstfehler

Δf = ∑(|∂f/∂xi| |Δxi|))

berechnet. Nehmen wir eine einfache Funktion der Art

f = xz , z ∈ Z (ganze Zahl), z ≠ 0;

also eine einfach Potenz von x oder deren Kehrwert. Dann ist

∂f/∂x = z xz-1

und somit

Δf = |z xz-1| |Δx|

(sowohl nach Gausz als auch Groesstfehler). Der relative Fehler von f ergibt sich dann zu

Δf/f = |(z xz-1) / (xz)| * |Δx| = |z| |Δx/x|

Ok, das ist die allgemeine Vereinfachung fuer den Fall, dass sich f aus Potenzen von xi multiplikativ zusammensetzt. Fuer den noch weiter vereinfachten Fall z=-1, also f=1/x, heisst das, der relative Fehler von f ist gleich dem von x.

Frage

Jetzt habe ich z.B. eine Messgroesse von x=10 (Einheit ist wurscht) mit einem Messfehler von Δx=1, der relative Fehler also 10%. Dann ist f=0.1 und Δf=0.01, da der relative Fehler derselbe wie von x ist. Das wahre x bewegt sich aufgrund des Messfehlers irgendwo zwischen 9 und 11, das wahre f irgendwo zwischen 0.09 und 0.11.

Rechne ich jetzt aber das minimale und maximale f direkt aus dem maximalen und minmalen x aus, also
fmin = 1/xmax = 1/11 = 0.090909   und
fmax = 1/xmin = 1/9 = 0.111111
dann ist auf einmal der Fehler von f ein ganz anderer – auf der einen Seite ragt er ueber den durch den relativen Fehler erlaubten Bereich heraus, auf der anderen Seite nutzt er ihn nicht ganz aus. Der Fehler von f ist jetzt nicht mal mehr symmetrisch.

Woher ruehrt denn diese Diskrepanz her bzw. was ist an der Rechnung falsch?

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Hi! Ich habe ein Problem mit der Fehlerrechnung.

Einleitung

Und zwar lernt man ja allerorten, dass man den Fehler einer
Groesse f = f(x1, x2, x3,
…), die sich aus einzelnen Messgroessen xi
zusammensetzt, entweder mit dem Gauszschen
Fehlerfortpflanzungsgesetz

Δf =
sqrt(∑((∂f/∂xi)2
(Δxi)2))

feststellt, oder den Groesstfehler

Δf = ∑(|∂f/∂xi|
|Δxi|))

Hi,

es hakt schon am Anfang. Die obigen Abschaetzungen (keine Gleichheiten) ergeben sich aus dem Mittelwertsatz

Δf(x,Δx) = ∑ ∂f/∂xi(y) Δxi,

wobei y irgendwo auf der Strecke von x nach x+Δx liegt, aber nicht bekannt ist. In Deinem Beispiel koenntest Du es ausrechnen.

Ueber die ueblichen Operatornormen kommt man zu den von Dir gegebenen Ausdruecken *und* muesste jetzt das Supremum ueber alle moeglichen y nehmen. Manchmal funktioniert das, manchmal muss man sich dazu einen Bereich ausdenken, in welchem das wahre Ergebnis wahrscheinlich liegt.

Da das langweilig und muehevoll ist, nimmt man den Fehler als sehr klein gegenueber dem Messwert und vernachlaessigt die Ungenauigkeit in den Schranken als Fehler hoeherer Ordnung, so dass die partiellen Ableitungen nur in x ausgewertet werden muessen. Das ist in Deinem Beispiel nicht der Fall, kleine Fehler liegen unter 1%, oder besser, 10% ist ein zu grosser Fehler fuer diese Vereinfachung.

Ciao Lutz

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Ja danke, mit ein bisschen Nachdenken haette ich eigentlich auch selber draufkommen koennen.

So long