Fehlerrechnung

Bernhard_Kr_mer · 9. November 2019 um 06:29

Hallo liebe Experten,

ich bin gerade dabei, eine Fehlerrechnung zu machen. Ich bin daran interessiert, inwiefern sich die Spannung an der Mittelanzapfung eines Spannungsteilers ändert, wenn einer der beiden Widerstände, die den Spannungsteiler bilden, 5% Toleranz aufweist.

Der Spannungsteiler besteht aus 2 Widerständen, R1 und R2.

Über den beiden Widerständen liegt die Spannung Ubat an. Ich interessiere mich für die Spannung Uaus. Sie wird berechnet durch

Uaus = Ubat * R2 / (R1+R2)

Soweit alles klar. Wenn ich jetzt eine Fehlerrechnung mache in der Vermutung, daß R2 eine Abweichung von 5% hat, gehe ich so vor:

delta Uaus = d ( Ubat * R2 / (R1+R2) ) / dR2 * delta R2

und bekomme

delta Uaus = Ubat * R1 / (R1+R2)^2 * delta R2

Ich nehme nun an, daß R1 = R2 = 1000 Ohm, somit ist delta R2 = 50 Ohm, was den 5 % entspricht. Ubat sei 5V. Ich erhalte

delta Uaus = 5 * 10^-3 * 50 = 0,125 Volt

Soweit in Ordnung. Wenn ich das jetzt aber überprüfe und die Abweichung der Spannung des Spannungsteilers berechne, wenn R2 50 Ohm mehr hat, dann bekomme ich

Uaus = 1050 / (1000+1050) = 2,561 Volt, und nicht 2,625 Volt, wie ich erwartet hätte! umgekehrt bekomme ich Uaus = 950 (1000+950) = 2,436 Volt, und auch nicht 2,375 Volt, wie ich erwartet hätte! Nur die Differenz zwischen 2,436 und 2,635 ergibt 0,125.

Was ich jetzt nicht verstehe: Wenn ich den Widerstand in eine Richtung um 5% verändere, kann ich doch nicht für delta Uaus den doppelten Fehler bekommen! Oder wie muß ich mir das vorstellen?

Außerdem wäre es toll, wenn ich den relativen Fehler berechnen könnte, ohne mit absoluten Werten wie 50 Ohm rechnen zu müssen.

Wo stehe ich auf dem Schlauch? Ich habe es mir jetzt zig-mal hin und her gerechnet, vielleicht könnt Ihr mir weiterhelfen.

Viele Grüße,

Bernhard

Moritz_fe1b4f · 9. November 2019 um 06:30

Hallo,

Uaus = Ubat * R2 / (R1+R2)

Soweit alles klar. Wenn ich jetzt eine Fehlerrechnung mache in
der Vermutung, daß R2 eine Abweichung von 5% hat, gehe ich so
vor:

delta Uaus = d ( Ubat * R2 / (R1+R2) ) / dR2 * delta R2

und bekomme

delta Uaus = Ubat * R1 / (R1+R2)^2 * delta R2

Das stimmt schonmal (eigentlich muss man Beträge betrachten, aber das ist hoffentlich klar)

Ich nehme nun an, daß R1 = R2 = 1000 Ohm, somit ist delta R2 =
50 Ohm, was den 5 % entspricht. Ubat sei 5V. Ich erhalte

delta Uaus = 5 * 10^-3 * 50 = 0,125 Volt

Soweit in Ordnung. Wenn ich das jetzt aber überprüfe und die
Abweichung der Spannung des Spannungsteilers berechne, wenn R2
50 Ohm mehr hat, dann bekomme ich

Uaus = 1050 / (1000+1050) = 2,561 Volt, und nicht 2,625 Volt,
wie ich erwartet hätte!

Wieso hättest du das denn erwartet? Uaus ist nicht linear in R2.

umgekehrt bekomme ich Uaus = 950
(1000+950) = 2,436 Volt, und auch nicht 2,375 Volt, wie ich
erwartet hätte! Nur die Differenz zwischen 2,436 und 2,635
ergibt 0,125.

Was ich jetzt nicht verstehe: Wenn ich den Widerstand in eine
Richtung um 5% verändere, kann ich doch nicht für delta Uaus
den doppelten Fehler bekommen! Oder wie muß ich mir das
vorstellen?

Der Fehler ist eine Zufallsgröße, die normalverteilt ist. Der Standardfehler ist die Breite dieser Normalverteilung. Er ist nicht der Wert, den du bekommst, wenn du den Parameter (hier R2) um die Unsicherheit verschiebst.

Außerdem wäre es toll, wenn ich den relativen Fehler berechnen
könnte, ohne mit absoluten Werten wie 50 Ohm rechnen zu
müssen.

Geht aber im Allgemeinen nicht. Der relative Fehler hängt auch oft vom Verhältnis der Absolutwerte ab.

HTH,
Moritz

Reinhard_Kern_4bc529 · 9. November 2019 um 06:30

Hallo,

delta Uaus = Ubat * R1 / (R1+R2)^2 * delta R2

Ich nehme nun an, daß R1 = R2 = 1000 Ohm, somit ist delta R2 =
50 Ohm, was den 5 % entspricht. Ubat sei 5V. Ich erhalte

delta Uaus = 5 * 10^-3 * 50 = 0,125 Volt

NEIN: erstens ist das sowieso falsch, es käme 0,25 V heraus.
zweitens ist R1 / (R1+R2)^2 nicht 10^-3, sondern 0.25 * 10^-3
(bei R1 = R2 = 1000)
ALSO 5 * (0.25 * 10^-3) * 50 = 0.0625

Soweit in Ordnung. Wenn ich das jetzt aber überprüfe und die
Abweichung der Spannung des Spannungsteilers berechne, wenn R2
50 Ohm mehr hat, dann bekomme ich

Uaus = 1050 / (1000+1050) = 2,561 Volt, und nicht 2,625 Volt,
wie ich erwartet hätte! umgekehrt bekomme ich Uaus = 950
(1000+950) = 2,436 Volt, und auch nicht 2,375 Volt, wie ich
erwartet hätte! Nur die Differenz zwischen 2,436 und 2,635
ergibt 0,125.

Bist du sicher? Mein Taschenrechner bringt 0.199 heraus.
Vielleicht solltest du die Batterie wechseln.

Leider gleichen sich 2 Rechenfehler nicht immer gegenseitig aus.

Im Übrigen gilt die berechnete Ableitung eben nur für R1 = R2, du müsstest sie für den Punkt R1 = 1000, R2 = 950 neu berechnen!

Gruss Reinhard

Bernhard_Kr_mer · 9. November 2019 um 06:30

Hallo Reinhard, mein Held,

Du hast Recht, die Batterien waren echt ganz schön alle, als ich die Rechnung gemacht habe. Zum Glück bin ich seitdem was essen gegangen, aber das ich mich bei einer so simplen Rechnung derart vertan habe, ist unentschuldbar. Vielen Dank für Deinen freundlichen Hinweis

In der Tat kommen 0.0625 V raus.

Dann stimmt auch „ungefähr“

Uaus = 1050 / (1000+1050) = 2,561 Volt,

mit einer Differenz von 0.061 V, und

Uaus = 950
(1000+950) = 2,436 Volt

mit einer Differenz von ungefähr 0.064 V. Die leichten Abweichungen von 0,0625 V ist vielleicht durch die Nicht-Linearität zu erklären.

Liebe Grüße,

Bernhard