Fehlerrechnung - eine Anwenderfrage

Wissenschaft Physik
1

Hallo liebe WWWler,
eine Frage, an welcher ich mit meinen Mathematikkenntnissen ins Grübeln gerade, und auch mit Wikipedia ohne Hilfestellung nicht weiterkomme:

Ich habe drei identische Spektroskopie-Messungen durchgeführt, dort aber natürlich verschiedene Werte erhalten (Ich gehe von einem zufälligem Fehler aus).
Die Messdaten habe ich jeweils gefittet und daraus meine drei Ergebnisse und jeweils einen „Fehler“ berechnet (Origin + Gausssche Fehlerfortpflanzung).

Zum Weiterarbeiten möchte ich diese drei Messungen gerne auf einen Wert und einen Fehlerwert reduzieren.
Für die Messwerte selbst würd ich den (arithm.) Mittelwert bilden.

Mit welcher praktisch und mathematisch sinnvollen Größe kann ich den Streubereich, also den „Mittelwert der Fehler“ angeben?

Danke und viele Grüße,
Stefan

2

Standardfehler
Hallo,

der Standardfehler, also die Standardabweichung des Mittelwerts, ist Sigma/(Wurzel(n)).
In deinem Fall:
Der Standardfehler eines bestimmten Wertetripletts ist die Standardabweichung der 3 Werte dividiert durch Wurzel(3).

Gruss,
TR

3

Auch bei N=3?
Danke! Ich bin aber noch etwas verunsichert:

Aus meiner Studienzeit erinnere ich mich noch an die „Weisheit“, dass eine Standardabweichung erst ab einer gewissen Stichprobengröße eine sinnvolle Aussagekraft hat.
Ist das hier relevant?

Außerdem geht bei dieser Rechnung nicht ein, wie „sicher“ die Mittelwerte bestimmt worden sind. Mitunter ist ein Fit sehr eindeutig (kleiner Fehler), ein zweiter ab nicht (großer Fehler). Ich dachte es gibt da ein Modell, welches die „Qualität“ der einzelnen Mittelwerte berücksichtigt.

Danke,
Stefan

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

4

Sogar bei N=2 !
Hallo,

Aus meiner Studienzeit erinnere ich mich noch an die
„Weisheit“, dass eine Standardabweichung erst ab einer
gewissen Stichprobengröße eine sinnvolle Aussagekraft hat.

Ja, der Standardfehler der Standardabweichung wird mit wachsendem n kleiner. Wollen wir uns jetzt verzetteln und die Chi^2 Verteilung mit einbinden?
Wir reden nicht von 3 einzelnen Messwerten, sondern von (hoffentlich) vielen Tripletts.
Es ist ziemlich unwahrscheinlich, bei jedem Triplett den selben Fehler in die gleiche Richtung zu machen. Die Chi^2 Verteilung kann draussen bleiben.

Außerdem geht bei dieser Rechnung nicht ein, wie „sicher“ die
Mittelwerte bestimmt worden sind. Mitunter ist ein Fit sehr
eindeutig (kleiner Fehler), ein zweiter ab nicht (großer
Fehler).

Wenn du dieses Wissen hättest, dann bräuchtest du die Standardfehler nicht. Du weisst aber nichts, also Standardfehler.

Ich dachte es gibt da ein Modell, welches die
„Qualität“ der einzelnen Mittelwerte berücksichtigt.

Wenn man über genaueres Wissen verfügt, kann man einiges modellieren.
Diese Situation haben wir aber hier wohl nicht.

Gruss,
TR

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5

Gewichteter Mittelwert
Hallo Stefan,
was du suchst ist das gewichtete Mittel!

x_quer = Σ (wi ⋅ xi) / Σ wi

Als Gewichte wi nimmt man (gibt das genaueste Ergebnis!) wi = 1/σi² .
Der „Fehler“ von x_quer ist dann einfach sx_quer = sqrt (1 / Σ wi).
Das ist dann automatisch immer kleiner als der kleinste Einzelfehler, was auch Sinn macht, denn eine Mittelung soll ja genauer als die Einzelwerte sein!
Gruß Kurt

6

Aber hier nicht!
Hallo,

der Fragesteller hat drei unterschiedlich genaue Werte!
Er kennt aus dem Fit eine Schätzung der Varianz für jeden einzelnen Wert. In dieser Situation ist ihm mit der Berechnung des arithm. Mittelwertes und dem Standardfehler nicht geholfen.

Klar, eine Standardabw. kann man auch mit 2 Werten ausrechnen. Nützlich ist das aber nicht. Wer sowar rät, der sollte auch gleich dazusagen, dass für eine sinnvolle Aussage über die Genauigkeit des Mittelwert dann das Vertrauensintervall mit Hilfe der t-Verteilung bestimmt werden muss. Da zeigt sich dann aber, dass für kleine n die Standardabw. mit einem entsprechend großen Faktor aufgeblasen wird. Deshalb sind Regeln, eine Standardabw. erst ab n=10 oder 20 zu bestimmen, durchaus sinnvoll. Dann simmt nämlich der Standardfehler für praktische Zwecke ausreichend genau mit der halben Breite des 68%-Vertrauensintervalls überein!

Aus meiner Studienzeit erinnere ich mich noch an die
„Weisheit“, dass eine Standardabweichung erst ab einer
gewissen Stichprobengröße eine sinnvolle Aussagekraft hat.

… und das ist gut so!

Gruß Kurt

7

Hallo Kurt,

(…)

der Fragesteller hat drei unterschiedlich genaue Werte!

Das hat er doch nirgends gesagt?

Er kennt aus dem Fit eine Schätzung der Varianz für jeden
einzelnen Wert.

Das ist doch das Pferd von hinten aufgezäumt?
Ich verstehe das völlig anders.

Ich sehe das so (Spektroskopie):
Er hat über einen Bereich hinweg an definierten Stellen jedesmal jeweils dreimal die selbe Messung durchgeführt.
Nun hat er drei Punktewolken, durch die jeweils eine Kurve geht.
Jeweils drei Werte korrespondieren. Aus je drei Werten muss er s berechnen. Das ist zwar ungenau, aber nicht tragisch, denn er hat ja viele Tripletts, was die gesamte Modellgenauigkeit wieder anhebt.

Irgendwelche Konfidenzintervalle auf 3-Werte-Ebene finde ich übertrieben.
Beim gesamten Modell ist das ok.

(…)

Deshalb sind
Regeln, eine Standardabw. erst ab n=10 oder 20 zu bestimmen,
durchaus sinnvoll.

Er hat aber nur je 3 Werte…
Übrigens ist die Bestimmung von s ab bereits n=5 industriell flächendeckend üblich (SPC).
Die 10 oder 20 sind nicht in Stein gemeisselt, genauso wenig wie irgendwelche Signifikanzniveaus.

Gruss,
TR

8

Hallo Kurt,

(…)

der Fragesteller hat drei unterschiedlich genaue Werte!

Das hat er doch nirgends gesagt?

Ich denke schon :

Ich habe drei identische Spektroskopie-Messungen durchgeführt,
dort aber natürlich verschiedene Werte erhalten (Ich gehe von
einem zufälligem Fehler aus).
Die Messdaten habe ich jeweils gefittet und daraus meine drei
Ergebnisse und jeweils einen „Fehler“ berechnet (Origin +
Gausssche Fehlerfortpflanzung).

Zum Weiterarbeiten möchte ich diese drei Messungen gerne auf
einen Wert und einen Fehlerwert reduzieren.

und - Antw. auf dein Posting …

Außerdem geht bei dieser Rechnung nicht ein, wie „sicher“ die
Mittelwerte bestimmt worden sind. Mitunter ist ein Fit sehr
eindeutig (kleiner Fehler), ein zweiter ab nicht (großer
Fehler). Ich dachte es gibt da ein Modell, welches die
„Qualität“ der einzelnen Mittelwerte berücksichtigt.

Er kennt aus dem Fit eine Schätzung der Varianz für jeden
einzelnen Wert.

Das ist doch das Pferd von hinten aufgezäumt?
Ich verstehe das völlig anders.

Na ja, bei solchen Fits wird irgeneine Resonanzkurve (z.B. Gauß) über evtl. einem Untergrund gefittet und vor allem die Fläche bestimmt, die dann z.B. auf eine Konzentration umgerechnet wird. Wie er schreibt hat er Origin für die Fits benutzt. Das wird ihm dann u.a. die Fläche und deren stat. Fehler ausspucken. Das nenn’ ich dann für dich als Musiker Statistiker „eine Schätzung der Varianz für jeden einzelnen Wert“

Nun hat er drei Punktewolken, durch die jeweils eine Kurve
geht.
Jeweils drei Werte korrespondieren. Aus je drei Werten muss er
s berechnen. Das ist zwar ungenau, aber nicht tragisch, denn
er hat ja viele Tripletts, was die gesamte Modellgenauigkeit
wieder anhebt.

Von „Punktewolken“ und „vielen Tripletts“ hab ich nix gelesen …

Übrigens ist die Bestimmung von s ab bereits n=5 industriell
flächendeckend üblich (SPC).

Bei der Prozesskontrolle gibt aber (hoffentlich!) keiner unkommentiert s oder sm für n=5 an und behauptet, das der Mittelwer normalverteilt wäre und man deshalb aus dem Standardfehler etwas über die Genauigkeit des Mittelwertes (sein Konfidenzintervall) schließen könnte! Das multipliziert man dann eben „t“ dran …

Die 10 oder 20 sind nicht in Stein gemeisselt, genauso wenig
wie irgendwelche Signifikanzniveaus.

Stimmt! Hab’ ich auch nicht behauptet! Passt aber in der Praxis. Leicht zu merken ist z.B. die 5er-Regel von Tukey (Sachs, Angew. Statistik, Seite 172,oder Google „fünferregel statistik“, erster Treffer). Der empfiehlt für s gleich n=5² .

Gruß Kurt

9

Hallo,

ich meinte den Sachverhalt tatsächlich so wie ihn Kurt beschreibt:
Raman-Spektrum mit 2 Peaks und Untergrund, wird mit bis zu 9 Parametern gefittet.
Davon habe ich drei gemessen und diese auch unterschiedlich genau gefittet.

Sorry, falls ich mich nicht eindeutig genug ausgedrückt habe. Fällt einem Nichtmathematiker aber eben reichlich schwer :wink:

Grüße,
Stefan

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was du suchst ist das gewichtete Mittel!

Danke,
dass werd ich mir mal übers Wochenende zu Gemüte führen :smile:

  • Stefan