Ich komme mit folgendem Festigkeitslehre-Beispiel nicht wirklich klar und wollte euch um Hilfe bitten. Es müsste eigentlich relativ einfach und mit Zusammenhängen des Werkstoffgesetzes lösbar sein… nur wie?
Bsp: An einem Bohrgerät ist der Bohrmeißel am Ende eines langen, dünnwandigen Stahlrohres befestigt (Länge L, Durchmesser D in Wandmitte). Das Torosionsmoment am Meißel verursacht Schubspannungen in der Querschnittsfläche, die auf der ganzen der ganzen Länge die Größe TAU haben.
Um wieviel Grad verdrehen sich die Enden des Rohres gegeneinander?
Gegeben: L, D, TAU, Schubmodul G
wenn du bissle ind er Seite liesst wirst du paar Beispiele finden, und musst nicht mühsam integrieren. Aus diesen Beispielen lässt sich dann das polare Trägheitsmom. errechnen… Ip=Iy+Iz
Leider fehlt mir dazu aber die Wandstärke des Rohres. Da dieses Beispiel nicht unter „Torsion“ zu finden ist, sondern bei „Werkstoffgesetz“ glaube ich, dass die Lösung mittels Schubmodul und Gleitung erechnet werden kann. Nur wie?
Die Gleitung, also Winkeländerung bezogen auf Anfangswinkel, kann mittels TAU und G berechnet werden. Nur wie steht diese Information mit L und D im Zusammenhang?
Außerdem: Wofür steht Gleitung?.. Winkeländerung pro Meter??? Im Falle einer Dehnung ist der Zusammenhang klar und man kann leicht die Dehnung eines unter der Last F befindlichen Seiles mit dem E-Mudul E berechnen. Im Falle einer Verdrehung muss die doch analog gültig sein?
wenn du bissle ind er Seite liesst wirst du paar Beispiele
finden, und musst nicht mühsam integrieren. Aus diesen
Beispielen lässt sich dann das polare Trägheitsmom.
errechnen… Ip=Iy+Iz
ich hoffe, dass ich das so rüberbringen kann, wie es in meinem rausgekramten Festigkeitslehreskript erklärt war:
Wie du richtig gesagt hast, gilt erstens der Zusammenhang zwischen Schubspannung , Gleitmodul und (bei mir) Schubverzerrung:
(1) τ = G·γ
Dann betrachtest Du die Verdrehung eines Punktes außen auf einem Ende des Rohres. Die Verdrehung auf der Stirnseite der Rohres ist φ·r (r: Radius). Auf der Außenseite der Rohres ist die gleiche Verdrehung γ·L. Im Zusammenhang also:
(2) φ · r = γ · L
Du löst (2) nach γ auf und setzt in es in (1) ein:
(3) τ = G · φ · r / L
Weiteres Auflösen nach φ liefert, glaube ich, das was Du suchst.
Auf der Außenseite der Rohres
ist die gleiche Verdrehung γ·L. Im Zusammenhang also:
(2) φ · r = γ · L
Wie gesagt, Du betrachtest die Verdrehung des Punktes auf dem Rohr. Ich versuche es nochmal etwas klarer auszudrücken: Du malst Dir einen Punkt fest auf das Rohr, undzwar außen an einem Ende (A). Am anderen Ende (B) ist das Rohr fest eingespannt. Du bringst dann das Drehmoment auf und beobachstest, wie weit sich der Punkt bei A verdreht.
Dann beschreibt φ · r das Bogenmaß, quasi gesehen von der Stirnseite des Rohres, um das sich der Punkt weiterdreht.
Ich glaube mir ist der Begriff der Gleitung nicht klar… was
gibt diese genau an? Gibt diese die Verdrehung in Radiant pro
Meter an?
Jein. Bogenmaß kann man wohl nicht wirklich sagen. Es ist eine dimensionslose Zahl, die angibt, wie weit sich das Rohr pro Längeneinheit verdreht (ist aber auch für Ebene Probleme verwendbar (vielleicht hilft Dir http://de.wikipedia.org/wiki/Schubmodul weiter)).
Die Gleichung
τ = G · γ
ist die Analogie zum Hooke’schen Gesetz σ = E · ε, nur eben nicht für Normal-, sondern für Schubspannung. Wenn du ein Rechteck oben und unten mit Schubspannung belastest, gibt γ an, wie weit das Ganze nachgibt.
Deshalb wird die Gleitung hier mit der Länge des Rohres multipliziert, um wieder auf die gesamte Verschiebung des aufgemalten Punktes zu kommen.
Ich weiss echt grad nicht was du genau willst…
Deswegen schreibe ich nochmal kurz, wie du die Verdrehung µ berechnen kannst.
µ = T*L/(G*Ip)
T = Drehmoment… den müsstest du wissen, wenn nciht einfach mal nach Drehzahl und Drehmoment googeln, und dann kannst du den Zusammenhang zwischen Leistung, Drehmoment und Drehzahl rausfinden…
L ist die Länge, G das Schubmodul und Ip das polare Flächenträgheitsmoment.
Das berechnet sich so:
Ip = Iz + Iy = pi*r^4/4 + pi*r^4/4
… => Ip = pi*D^4/32
also folgt daraus für die Verdrehung:
µ = 32*T*L/(G*pi*D^4)
Ich hoffe das hilft ein wenig weiter. Ich weiss echt nicht, wo du was mit Wandsträrke usw. rechnen willst…
Wenn du auf einem Stab eine Zugkraft F aufbringst, kannst du die Spannung F/A innerhalb des Stabes berechnen. Weiters gilt über das Werkstoffgesetz (Hook) Dehnung = Spannung / E-Modul. Bei bekanntem E-Modul (zB Stahl)kannst du dir die Dehnung ganz einfach berechnen.
So weit, so gut. Da das von mir beschriebene Beispiel NICHT im Kapitel Torsion zu finden ist, sondern im Kapitel „Werkstoffgesetz“ (was ich aber schon erwähnt habe) muss es wohl auch über diese berechenbar sein.
Darum war meine Frage, ob ich obiges Beispiel bei gegebenen Schubmodul und gegebener Schubspannung vielleicht über die Gleitung den Verdrehwinkel berechnen kann, was wie durch Vladimir gezeigt auch möglich ist.
Was Gleitung? Wandstärke? Wozu?
Weil wenn du das Beispiel über Torsion berechnen willst du auch das Flächenmoment 2. Ordnung berechnen musst und dazu brauchst du die genaue Geometrie des Rohres, die aber nicht gegeben ist(wie aus der Angabe ersichtlich). Es macht nämlich einen Unterschied in Sachen Verdrehwinkel, ob die Wandstärke des Rohres 1mm oder 10mm ist.