Fibonacci-Zahlen

Wissenschaft Physik
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Ich habe die Aufgabe, per Induktion zu beweisen, daß für die Fibonacci-Zahlen folgende geschlossene Darstellung gilt:

Fib(k)=1/w*(((1+w)/2)^(k+1)-((1-w)/2)^(k+1))

mit w^2=5

(hoffentlich hab ich jetzt keine Klammer vergessen … :smile:

Eigentlich muß ich nur noch zeigen, daß

((1+w)/2)^k + ((1+w)/2)^(k-1)
das gleiche ist wie
((1+w)/2)^(k+1)

Das scheint aber nur zu gehen wenn w^2=5 ist, für ein beliebiges w dürfte m.E. keine Gleichheit gelten.

Bloß wie krieg ich das durch schrittweise Umformung gezeigt???

Viele Grüße und danke für Eure Mühe!

Kerstin

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Hallo Kerstin,

werf mal einen Blick in

http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/goldsc…

Außer Grundlagenwissen zum goldenen Schnitt (mit dem die Fibonacci-Zahlen in engem Zusammenhang stehen) findest Du dort auch eine Herleitung des Satzes, den Du beweisen willst.

Gruß
Martin

3

Hi,

Nimm einfach ((1+w)/2)^(k-1) aus allen Termen raus, dann erh"alst Du eine
quadratische Gleichung f"ur w, die nach "aquivalentem Umformen gerade w^2=5
sein sollte.
D.h., Du gehst von w^2=5 aus, machst diese Umformungen r"uckw"arts und
multiplizierst mit (()/)^(k-1), um die gew"unschte Gleichung zu erhalten.

MfG Lutz

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Ich habe :
((1+w)/2)^k + ((1+w)/2)^(k-1)
das gleiche ist wie
((1+w)/2)^(k+1)

Das scheint aber nur zu gehen wenn w^2=5
ist, für ein beliebiges w dürfte m.E.
keine Gleichheit gelten.

Stimmt: def. (1+w)/2 = n ==> n^k + n^(k-1) = n^(k+1). Aber setze n=2 und k=3 ==>
2^3 + 2² =! 2^4 ==> 8+2=!16 Nein.