Hallo,
habe hier eine Aufgabe, bei der ich unbedingt eueren Rat brauche:
Man nennt xa einen Fixpunkt einer Funktion f, wenn
f(xa) = xa gilt.
Zu beweisen ist:
Jede auf einem Intervall [a;b] stetige Funktion f, deren Wertemenge f([a;b]) in dem Intervall [a;b] enthalten ist, hat mindestens einen Fixpunkt.
Ist nun die Behauptung durch den Zwischenwertsatz oder den Nullstellensatz oder durch beiden zu beweisen?
Vielen Dank,
Karl
Hallo
Man nennt xa einen Fixpunkt einer Funktion f, wenn
f(xa) = xa gilt.
Zu beweisen ist:
Jede auf einem Intervall [a;b] stetige Funktion f, deren
Wertemenge f([a;b]) in dem Intervall [a;b] enthalten ist, hat
mindestens einen Fixpunkt.
Zwischenwertsatz und Nullstellensatz sind äquivalent, man kann es also mit beiden beweisen.
Nehmen wir mal den Nullstellensatz:
Wenn f(a)=a oder f(b)=b, dann existiert offensichtlich ein Fixpunkt. Anderenfalls gilt f(a)>a und f(b)0 und g(b)
Hossa Karl 
Man nennt xa einen Fixpunkt einer Funktion f, wenn
f(xa) = xa gilt.
Zu beweisen ist:
Jede auf einem Intervall [a;b] stetige Funktion f, deren
Wertemenge f([a;b]) in dem Intervall [a;b] enthalten ist, hat
mindestens einen Fixpunkt.
Du betrachtest also auf der x-Achse das Intervall [a;b] und auf der y-Achse auch das Intervall [a;b]. Wenn du das in ein Koordinatensystem einträgst, erhaltst du ein Quadrat. Die Kanten des Quadrates gehören zum betrachteten Intervall dazu. Die linke untere Ecke ist der Punkt (a;a) und die rechte obere Ecke ist der Punkt (b,b). Auf der Diagonalen von links unten nach rechts oben liegen alle Punkte mit y=x bzw. f(x)=x, also alle Fixpunkte!
y|
|
| (a,b) (b,b)
| |-----------|
| | |
| | |
| | |
| | |
| |-----------|
| (a,a) (b,a)
|\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ x
Der Graph der Funktion beginnt irgendwo am linken Rand des Quadrates, verläuft dann ohne Unterbrechung (stetig) irgendwo zum rechten Rand. Dabei muss er die Fixpunkt-Diagonale mindestens 1-mal schneiden! Wenn die Funktion bei (a;a) anfängt oder bei (b;b) endet, schneidet sie dort die Fixpunkt-Diagonale nicht, sondern berührt sie nur (Ränder gehören mit zum Intervall).
Damit ist die Behauptung bewiesen
Ist nun die Behauptung durch den Zwischenwertsatz oder den
Nullstellensatz oder durch beiden zu beweisen?
Eigentlich braucht man keinen von beiden.
Viele Grüße
Hasenfuß
Eigentlich braucht man keinen von beiden.
Hi,
doch, Du hast den Zwischenwertsatz in einer „grafischen Form“ verwendet. Weil sonst hättest Du auf die Stetigkeit der Funktion mit epsilon-delta-Argumenten zugreifen müssen, was ja offensichtlich nicht vorkam.
Gruß Lutz
Nebenbei: Beweise an Skizzen sind keine, veranschaulichen nur die Beweisidee. Und die meisten stetigen Funktionen lassen sich nicht zeichnen, was gezeichnet ist, ist meist stückweise differenzierbar, wenigstens aber Lipschitz-stetig.