Fläche von Metazyklen

Wissenschaft Physik
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Hallo, Mathekreaks!
Sicher kennen alle die Fläche eines Kreises mit dem Radius r = 1, nämlich A = pi*r^2 = pi; das ist ja die Größe der von der Funktion x^2 + y^2 = 1 eingeschlossene doppelt achsensymmterische Fläche.
Ich frage mich seit langem, welche Größe sich bei „Metazyklen“, ich meine für höhere Exponenten, also die eingeschlossene Fläche der Funktionen ||x|^k + |y|^k| = 1, für k > 2 ergibt. (Die Betragsstriche sind notwendig, um eine doppelt achsensammetrische „Funktion“ zu erzeugen (also keine eindeutige „Funktion“ im Sinne der Definition von „Funktion“).
Für k = 1, also den Fall |x| + |y| = 1 haben wir natürlich das einfache Karo mit der Fläche A = 2, denn die begrenzenden Geraden haben ja die Funktionsgleichungen |y + x| = 1 und |y - x| = 1.
Bei wachsender Hochzahl k nähert sich die eingeschlosserne Fläche unendlich dem Wert 4 an, woran man wieder erkennt, daß sich der Kreis zwischen 2 und 4 „ziemlich in der Mitte“ befindet mit pi = 3,1413…
Der Ansatz der Berechnung auf intergativem Wege führt meines Wissens zu sogenannten „elliptischen Integralen“, die wegen Fehlens einer Stammfunktion analytisch und „geschlossen“ unmöglich zu berechnen scheinen.
Ich würde mich freuen, wenn hier jemand eine Idee hätte und sie uns mitteilte.

moin, manni

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falsch

Hallo, Mathekreaks!
Sicher kennen alle die Fläche eines Kreises mit dem Radius r =
1, nämlich A = pi*r^2 = pi;

besser: 4*pi*r²=4*pi im Einheitskreis oder auch pi*d² :smile:

das sind die Pisa-Lehrer :smile:

das ist ja die Größe der von der

Funktion x^2 + y^2 = 1 eingeschlossene doppelt
achsensymmterische Fläche.
Ich frage mich seit langem, welche Größe sich bei
„Metazyklen“, ich meine für höhere Exponenten, also die
eingeschlossene Fläche der Funktionen ||x|^k + |y|^k| = 1, für
k > 2 ergibt. (Die Betragsstriche sind notwendig, um eine
doppelt achsensammetrische „Funktion“ zu erzeugen (also keine
eindeutige „Funktion“ im Sinne der Definition von „Funktion“).
Für k = 1, also den Fall |x| + |y| = 1 haben wir natürlich
das einfache Karo mit der Fläche A = 2, denn die begrenzenden
Geraden haben ja die Funktionsgleichungen |y + x| = 1 und |y -
x| = 1.
Bei wachsender Hochzahl k

das nannten wir früher „Exponenten“

nähert sich die eingeschlosserne

Fläche unendlich dem Wert 4 an, woran man wieder erkennt, daß
sich der Kreis zwischen 2 und 4 „ziemlich in der Mitte“
befindet mit pi = 3,1413…
Der Ansatz der Berechnung auf intergativem Wege führt meines
Wissens zu sogenannten „elliptischen Integralen“, die wegen
Fehlens einer Stammfunktion analytisch und „geschlossen“
unmöglich zu berechnen scheinen.
Ich würde mich freuen, wenn hier jemand eine Idee hätte und
sie uns mitteilte.

moin, manni

nàhmd, Frank

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besser: 4*pi*r²=4*pi im Einheitskreis oder auch pi*d² :smile:

Ein Kreis hat die Fläche pi r^2, eine Kugel die Oberfläche 4 pi r^2.

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Korinthenpacker
Danke, Martin!

Der liebe Frank hat ws zuviel Rosinen kupen gelernt vonne Pisa-Lehrer. Das Problem von diesen ist ja hs immer schon gewesen, daß man von Leuten, „die alles wissen“ am wenigsten lernt.

Weiß übergens jemand wie Frank, wie man „wissenschaftlich“ 1 + 2 ausrechnet?
Ganz einfach, als: lim{n*(1 + 1/n)*(1 + 2/n) - 1}, für n gegenb unendlich. Z.B. für n = 10 gilt ja 10*{(1+1/10)*(1+2/10) - 1} = 10*{1,1*1,2 - 1} = 10*{1,31 - 1} = 10*0,31 = 3,1, und für n=100 haben wir schon entsprechend 100*{1,0302 - 1} = 100*0,0302 = 3,02
Auf diese Weise kann man jede Summe in ein Produkt verwandeln, und das hilft v.a. sehr bei unendlichen Produkten. (Die man dann wiederr mithilfe der „Gammafunktion“ Weiterbearbeiten kann).

P.S.: Aber nochmal zu dir, Frank:
Um ein richtiger Rosinenpuper zu werden, oder vielleicht sogar noch was größeres, musschu nochen beten übern.

moin, manni (alias Dilda)

Falls sich jemand mit slawischen Kenntnisse für die Zahlenwelt interessiert von euch, schaut doch bitte mal in mein posting dazu!

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Man Manni,

das hat man davon, wenn man artikel nur zwischen tür und angel liest. Hab das glatt ohne nachzudenken mit dem Umfang verwuchselt, der war 2pi*r. Peinlich :frowning: Kommt davon, wenn man sowas jahrelang nicht benützt.

Frank

PS: Was haältst du davon, wenn de mal ne hübsche Mathe-Grundlagenseite erstellst?? Daß man mal hier und da nachlesen kann?

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Rosinenzocker
Hallo, Frank!
Ist sehr nett von dir, dieser Brief.
Ich hatte allerdings in deiner vorschnellen (und denn ja `kontraproduktiven´) Kritik aber zunächst auch vor allem das „dem zeigen wirs jetzt mal!“ gesehen (daher meine Rekritik: „Rosinenpuper“.
Abernu: Schwammdrunter!

Hastu Ideen zur Lösung „meines“ Problems der „Metazyklen“?

Zu deiner Anregung an mich:
Ne „hübsche“ schon gerne, aber mit heimpeitschen usw. möchte ich mich gar nicht beschäftigen (da gibts ja genuch Fachexperten zu). Da gibt es sicherlich auch für alle genuch Orte, wo man nachlesen kann.
Außerdem, im Notfall sinnscha die Expreten und das Forum da!
Ich bin aber mit wachsender Verzweiflung auf der Suche nach noch verborgenen „amateurhaften“ Genies, die sich mit „Besonderheite“ der Mathematik beschäftigen (zB der besonderen universellen Rolle von pi, und der Gamma- und Zetafunktion). Die „Zetafunktion“, also die Ergebnisse der jeweils unendlichen Summen der Kehrwertpotenzen der natürlichen Zahlen, z.B. Summe{1/n^2} = pi^2/6 = ~1,6 ; da läßt mir keine Ruhe, daß es zB für Zeta(3) = Summe{1/n^3}, für n von 1 gegen unendlich wohl einen Ergebniszahlenwert (~1,20205…) gibt aber keine „pi-Formel“ wie bei allen geraden Hochzahlen („Exponenten“).
Ein ziemlich ähnliches Phänomen ist die Berechnung von „Hypervolumina“, also der der 3D Formel V = 4/3 * pi*r^3 entsprechende Formel für 4D-Volumina.
Nach meinen Berechnungen (Integration mittels der bekannten Substitution) ist V4 = k*pi^2*r^4 (k = 1/2, glaubich, weiß nichmehr aussem Kopf)
Und merkwürdigerweise steigt die Potenz von pi alle 2 Stufen, also V5 = t*pi^2*r^5 und erst V6 = k*pi^3*r^6, aber V7 =s*pi^3*r^7 und erst wieder V8 = l*pi^4*r^8.
Natürlicxh sind diese „Hyperräume“ für uns gar nicht vorstellbar; außer dem V4 in |R4, als Raum-Zeit-Kontinuum, also als sich zeitlich verändernder Raum.
Für Zeta(2) = Summe{1/n^2} = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 +++++
mit dem unendlichen Grenzwert pi^2/6 = ~1,6 gibt es einen ziemlich einfachen Beweis, aber für alle geraden Hochzahlen habich mithilfe der Gammafunktion und des von mir letztens dargestellten „Tricks“ der Umwandlung von Summen in Produkte ein recht elementares Beweisverfahren gefunden, daß sich nur leider nicht auf ungerade Hochzahlen anwenden läßt.
Wenn du Interesse hast und etwaige Vorkenntnisse (nur solchen Leuten können solche Lapsen wie dir passieren!), würde ich mich über eine weitere (private) Korrespondenz sehr froien!

Weißt du wenigstens, wie man in Windeseile (und schneller als die Lehrer auch nur ihren Taschenrechner zücken können) 78*82 ausrechnet?
(Tip: 3ter Binom, nämlich 80^2 - 2^2 = 6400 - 4 = 6396)

Ciao, ersmal, oder:
moin, manni (alida dildas)

Übrigens, ein von mir jahrelang ungelöstes Problem, das „Münzenproblem“ hat mit MisterStupid, hier aussem Forum geholfen zu lösen! Die Frage war:
„Wie groß ist die kleinste Münze, die 3 vorhandene verschieden große, aneinanderliegende Münzen grade noch überdeckt?“ Hast du auch ne Idee (auch, wo ihr Mittelpunkt liegt; und umgekehrt, die größte gerade noch in das Dreieck in der Mitte passende)?

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Hallo, Frank!
Ist sehr nett von dir, dieser Brief.
Ich hatte allerdings in deiner vorschnellen (und denn ja
`kontraproduktiven´) Kritik aber zunächst auch vor allem das
„dem zeigen wirs jetzt mal!“ gesehen (daher meine Rekritik:
„Rosinenpuper“.
Abernu: Schwammdrunter!

Hastu Ideen zur Lösung „meines“ Problems der „Metazyklen“?

Zu deiner Anregung an mich:
Ne „hübsche“ schon gerne, aber mit heimpeitschen usw. möchte
ich mich gar nicht beschäftigen (da gibts ja genuch
Fachexperten zu). Da gibt es sicherlich auch für alle genuch
Orte, wo man nachlesen kann.
Außerdem, im Notfall sinnscha die Expreten und das Forum da!
Ich bin aber mit wachsender Verzweiflung auf der Suche nach
noch verborgenen „amateurhaften“ Genies, die sich mit
„Besonderheite“ der Mathematik beschäftigen (zB der besonderen
universellen Rolle von pi, und der Gamma- und Zetafunktion).
Die „Zetafunktion“, also die Ergebnisse der jeweils
unendlichen Summen der Kehrwertpotenzen der natürlichen
Zahlen, z.B. Summe{1/n^2} = pi^2/6 = ~1,6 ; da läßt mir keine
Ruhe, daß es zB für Zeta(3) = Summe{1/n^3}, für n von 1 gegen
unendlich wohl einen Ergebniszahlenwert (~1,20205…) gibt
aber keine „pi-Formel“ wie bei allen geraden Hochzahlen
(„Exponenten“).
Ein ziemlich ähnliches Phänomen ist die Berechnung von
„Hypervolumina“, also der der 3D Formel V = 4/3 * pi*r^3
entsprechende Formel für 4D-Volumina.
Nach meinen Berechnungen (Integration mittels der bekannten
Substitution) ist V4 = k*pi^2*r^4 (k = 1/2, glaubich, weiß
nichmehr aussem Kopf)
Und merkwürdigerweise steigt die Potenz von pi alle 2 Stufen,
also V5 = t*pi^2*r^5 und erst V6 = k*pi^3*r^6, aber V7
=s*pi^3*r^7 und erst wieder V8 = l*pi^4*r^8.
Natürlicxh sind diese „Hyperräume“ für uns gar nicht
vorstellbar; außer dem V4 in |R4, als Raum-Zeit-Kontinuum,
also als sich zeitlich verändernder Raum.
Für Zeta(2) = Summe{1/n^2} = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 +++++
mit dem unendlichen Grenzwert pi^2/6 = ~1,6 gibt es einen
ziemlich einfachen Beweis, aber für alle geraden Hochzahlen
habich mithilfe der Gammafunktion und des von mir letztens
dargestellten „Tricks“ der Umwandlung von Summen in Produkte
ein recht elementares Beweisverfahren gefunden, daß sich nur
leider nicht auf ungerade Hochzahlen anwenden läßt.
Wenn du Interesse hast und etwaige Vorkenntnisse (nur solchen
Leuten können solche Lapsen wie dir passieren!), würde ich
mich über eine weitere (private) Korrespondenz sehr froien!

Nein, mit sowas habe ich mich bislang nicht beschäftigt. Mir geht es im Moment gerade durch den Kopf, ob es logisch ist, daß zwei Autos im totalen NICHTS, welche frontal aufeinander zufahren, nach dem Unfall ausschöließlich zerbeulte Kofferräume haben können. Klingt verrückt, hat aber eine Logik.

Weißt du wenigstens, wie man in Windeseile (und schneller als
die Lehrer auch nur ihren Taschenrechner zücken können) 78*82
ausrechnet?
(Tip: 3ter Binom, nämlich 80^2 - 2^2 = 6400 - 4 = 6396)

Das hätt ich noch gewußt, gerade so :smile:. Die allgemeine Lösungsform einer quadratische Gleichung kann ich auch noch herleiten.

Ciao, ersmal, oder:
moin, manni (alida dildas)

Übrigens, ein von mir jahrelang ungelöstes Problem, das
„Münzenproblem“ hat mit MisterStupid, hier aussem Forum
geholfen zu lösen! Die Frage war:
„Wie groß ist die kleinste Münze, die 3 vorhandene
verschieden große, aneinanderliegende Münzen grade noch
überdeckt?“

Wie es Mr Stupid gemacxht hat, weiß ich nicht. Ich würde ein Dreieck mit den Seitenlängen der summen der jeweiligen Radien konstruieren. Die winkelhalbierenden ergeben einen Schnittpunkt, dessen Seitensenkrechte der Radius des Kreises ist, der das kleine dreieck überdeckt :frowning: So easy.

Hast du auch ne Idee (auch, wo ihr Mittelpunkt

liegt; und umgekehrt, die größte gerade noch in das Dreieck in
der Mitte passende)?

etwas kompliverfitzter. Selbes Dreieck. Radiensektoren einzeichnen. Der Schnittpunkt zwischen Sektor und Winkelhalbierender ergibt die drei eckpunkte eines neuen dreiecks, dessen strecken des Schnittpunktes der seitenhalbierenden bis zu einem Eckpunkt den Radius der Münze ergibt, die gerade noch in die drein Münzen paßt.
Ist also alles lösbar, nur ne irre rechnerei. einen Kreis kann ich aber im euklidischen Raum nicht quadrieren, bevorr du fragst.

Frank

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PS:
Bei dem zweiten Münzproblem ist ein Fehler. Winkelhalbierende bitte ersetzen durch Geraden, welche zwischen einem Eckpunkt und dem Schnittpunkt der komplementären Münzen entlangläuft.

Gruß
Frank