Flächeinhalt eines Geschwindigkeit-Zeit-Graph

Wissenschaft Physik
#1

Moin,

Da ich momentan so gut im Flow bin, kommt direkt mal eine völlig andere Frage :smiley:

Vielleicht gehört sie besser ins Mathebrett - egal.

Der Flächeninhalt ist definiert als A=a*b
Die SI-Einheit für den Flächeninhalt ist der Quadratmeter :smiley:

Wenn ich jetzt einen Geschwindigkeits-Zeit-Graph habe und ich will zwischen zwei Stellen integrieren, dann stellt der gesamte Integrationsprozess ja den Flächeninhalt zwischen diesen beiden Stellen dar(nehmen wir an das die zu integrierende Fläche ein Rechteck ist - to keep it simple).

Das Problem? ist ja jetzt, dass der Flächeninhalt unter dem Graphen ja überhaupt rein gar nichts mit dem Quadratmeter zu tun hat.

\frac{10m}{s} \cdot 2s = 20m

Jetzt haben wir also eine Fläche mit 20m.
Das macht ja gar keinen Sinn! 20m ist eine Strecke aber ganz sicher keine Fläche!

Der Ausweg aus der Miserie scheint zu sein, dass man beim Integrieren gar nicht mehr auf Einheiten achtet.

In meinem Beispiel hat man dann eben eine Fläche von 20 (irgendwas) * meter. Das würd jedenfalls Sinn ergeben für mich.

Naja ich bin verwirrt.
Danke für eure Antworten.

ps.: Das mit dem Integrieren ist natürlich nur ein Beispiel und im grunde Genommen vom integrieren vollkommen unabhängig.

Ich stelle mir gerade die Kraft an der y-Achse vor und auf der x-achse den Weg. Wenn man 50N und 5m auf den entsprechenden Achsen einträgt, erhält man durch Multiplikation ja schon wieder den Flächeninhalt? (wenn Kraft konstant bleibt) und haben dann ein Ergebnis von 250nm. Auch hier: ist der flächeninhalt dann einfach 250 (irgendwas)? Der Flächeninhalt kann ja schwerlich newton mal meter sein!

Und nochmal danke :wink:


––––––––––––
MOD: Eine Zahl in vorher inkonsistentem Produkt passend geändert.

#2

Hallo =)

Erstmal:

Die SI-Einheit für den Flächeninhalt ist der Quadratmeter :smiley:

Ich glaube das mag kein Physiker gerne hören :wink:

Du hast etwas grundsätzliches nicht verstanden - die Zeichnung eines Geschwindigkeits-Zeit-Graphen ist nur eine Dartellung - es entspricht ja nicht der Realität, man kann damit nur sehr gut sehen, womit man es zu tun hat.

Und ja, der Flächeninhalt ergibt sich durch A=a*b

Nehmen wir mal eine konstante Geschwindigkeit von meinetwegen v=50 km/h über t=2 Stunden.
Dann rechnest du für den Weg den er zurückgelegt hat s mit s=v*t - das sieht ja ähnlich aus zu deiner Flächenihaltsrechnung. Nur muss man hier nun mit den Einheiten aufpassen: s=v*t=50*km/h*2*h=100km

Beim Integrieren machst du praktisch nichts anderes als Flächeninhalte von Rechtecken ausrechnen - das hast du ja mit Sicherheit schonmal gehört.

MfG, Christian

#3

Flächeninhalt ist manchmal nur eine Darstellung :smiley:
Moin,

Ja, alle Probleme lösen sich, wenn ich ähnlich wie bei meinem damligen Vektorproblem, wo ich Kraft mit einem Vektor gleichgesetzt habe, den Flächeninhalt nicht mit den Einheiten gleichsetze.

Für mich war es, auch schon vor diesem Posting, einleuchtend, dass alle Probleme vom Tisch fallen, wenn ich behaupte, dass der Flächeninhalt einfach nur den zurückgelegten Weg darstellt (!), der zurückgelegte Weg aber nicht dieser Flächeninhalt ist.

Ich bin aber immer unsicher, wenn ich was einleuchtendes habe. Deshalb stehen hier oft etwas komische Fragen von mir.

Ja, wie integrieren geht, weiß ich ja. Man summiert ja nur Rechtecke die in ihrer Breite gegen Null streben. Ist ja auch logisch.

Da verwendet man auch keine Einheiten. Die Rechtecke dort stellen also wohl auch nur was anschaulich dar. Nur was? Die Integration. Ja, das wäre logisch :smile:

#4

Hi,

nur weil zwei Variablen v(t), dt miteinander multipliziert werden, heißt das doch nicht, daß das Ergebnis eine Fläche sein muß.
Integration ist ja formal nur eine Summierung mit infinitesimalen Größen. Daß sich das ganze als Fläche veranschaulichen läßt, ist zwar praktisch, aber deswegen ist das Ergebnis keine physikalische Fläche.

Gruß
Moriarty

#5

Hallo =)

Für mich war es, auch schon vor diesem Posting, einleuchtend,
dass alle Probleme vom Tisch fallen, wenn ich behaupte, dass
der Flächeninhalt einfach nur den zurückgelegten Weg darstellt
(!), der zurückgelegte Weg aber nicht dieser Flächeninhalt
ist.

Das wäre bei einem Ort-Zeit-Diagramm so. Du musst darauf achten, was man mit dem Graphen (bzw. der Funktion) ausdrücken will - bei deinem Beispiel, einem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm, war es die Geschwindigkeit bei einer gewissen Zeit. Aber wir kennen den Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Ort und können daher aus dem Graphen (bzw. der Funktion) Rückschlüsse daraus ziehen. In diesem Fall ist „einfach“ der zurückgelegte Weg gleich der Integration über die Zeit - daher entsteht dein „Flächeninhaltproblem“.

Ich bin aber immer unsicher, wenn ich was einleuchtendes habe.
Deshalb stehen hier oft etwas komische Fragen von mir.

Aber nur Mut, stell weiter solche Fragen - Grundwissenfragen sind schon recht wichtig :smile:

Da verwendet man auch keine Einheiten. Die Rechtecke dort
stellen also wohl auch nur was anschaulich dar.

Wie bei meinem Beispiel hast du ein Rechteck mit einer „Seitenlänge“ 50km/h und eine „Seitenlänge“ mit 2 Stunden.

Nur was? Die
Integration.

Das Ergebnis von den aufsummierten intefisimal-kleinen Rechtecken ist ja die Integration - ja. Aber komisch ausgedrückt.

MfG, Christian

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#6

Hallo!

Wenn Du ein Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm zeichnest, dann tust Du so, als wäre ein Zentimeter der t-Achse eine Sekunde und ein Zentimeter der v-Achse wäre 1 Meter pro Sekunde.

Nun kannst Du die Fläche unter dem Graphen ausrechnen und Flächen misst man bekanntlich ja in Quadratzentimeter, also in (cm*cm). Doch halt! Der eine Zentimeter war ja eine Sekunde und der andere Zentimeter stand für einen Meter pro Sekunde.

s * m/s = m.

Diese Fläche hat also die Flächeneinheit m. In Wirklichkeit ist es keine Fläche im herkömmlichen Sinne, sondern ein zurückgelegter Weg.

Nimm die Einheiten in Deinen Rechnungen ruhig mit! Das Integral hat keine abstrakte Bedeutung. Nur muss man sich mit dem Gedanken anfreunden, dass die Breite der infinitesimal kleinen Rechtecke in Sekunden und die Länge in Meter/Sekunde gemessen werden.

Man gewöhnt sich sehr schnell daran und genießt es dann regelrecht, dass die Gleichungen immer brav das ausspucken, was man von ihnen wissen will.

Michael

#7

Hallo,

Wenn ich jetzt einen Geschwindigkeits-Zeit-Graph habe und ich
will zwischen zwei Stellen integrieren, dann stellt der
gesamte Integrationsprozess ja den Flächeninhalt zwischen
diesen beiden Stellen dar(nehmen wir an das die zu
integrierende Fläche ein Rechteck ist - to keep it simple).
Das Problem? ist ja jetzt, dass der Flächeninhalt unter dem
Graphen ja überhaupt rein gar nichts mit dem Quadratmeter zu
tun hat.

genau.Dies ist aber kein Problem.
Du ermittelst mit dem Ergebnis der Integration eine Größe mit
„2 Dimensionen“ und zwei Parametern.
Würde die x-und y-Koordinate jeweils die Größe der „Dimension“ m
angeben dann kommt eben m*m heraus.Wenn diese Dimensionen m und s
sind dann eben m*s.
Der Graf wird eben meist mit einer Fläche dokumentiert auch wenn die
Fläche mehr als zwei Dimensionen beinhaltet.

In meinem Beispiel hat man dann eben eine Fläche von 20
(irgendwas) * meter. Das würd jedenfalls Sinn ergeben für
mich.

So ist es.

Naja ich bin verwirrt.

Nur wenn Du bei jeder Flächenbetrachtung Quadratmeter suchst.
Gruß VIKTOR

#8

Nimm die Einheiten in Deinen Rechnungen ruhig mit! Das
Integral hat keine abstrakte Bedeutung. Nur muss man sich mit
dem Gedanken anfreunden, dass die Breite der infinitesimal
kleinen Rechtecke in Sekunden und die Länge in Meter/Sekunde
gemessen werden.

Nabönd :smile:

Mit diesem Gedanken spielte ich auch erst.
Ich dachte dann aber, dass eine Fläche doch eigentlich immer in irgendeiner Flächeneinheit wie m² cm² etc…angegeben werden muss.

Das löst sich aber auf, wenn ich die infintesimalen Rechtecke als zurückgelegten Weg sehe.

An diesen Gedanken des so-tun-als-ob physikalische Einheiten herkömmliche SI-Einheiten der Länge sind, kann ich mich nicht mit anfreunden, weil es eben einfach nicht so ist.

Naja, wird schon :smile:

#9

Ohne die anderen Antworten gelesen zu haben:

Hi,

Fläche = Breite * Höhe
A=a*b

x-Achse: Zeit
y-Achse: Geschwindigkeit

A = Zeit*GEschwindigkeit
A = Strecke

als Einheiten:

A = s * m/s
A = m

Weil die Fläche unter einer Kurve nicht mit Rechtecken endlicher breite darstellbar ist benutzt man das Integral.

vgl.: Riemannsummen