Hallo 
ich habe mal eine Frage an euch :
eigentlich reelle oder imaginäre Fläche zweiter Ordnung ?
was ist mit imaginärer Fläche gemeint ?
dass es sie gar nicht gibt ?
Vielen Dank
Hallo Jade,
ich hoffe, Du kennst imaginäre Zahlen. Wenn nicht, sag ich Dir erst einmal nur, dass i²=-1, das genügt, um imaginäre Flächen zu erklären.
Es geht hierbei um Flächen zweiter Ordnung, das schriebst Du schon. Eine einfache Fläche zweiter Ordnung ist z.B. ein Kegel.
Die Menge aller Punkte (x,y,z), für die gilt: x²+y²-z²=0, bildet einen (Doppel-)Kegel. Das kannst Du leicht einsehen, denn wenn Du die Gleichung umstellst, steht dort x²+y²=z². Gibst Du Dir also z vor, steht dort eine Kreisgleichung mit dem Radius |z|. Je weiter Du also auf der z-Achse »nach oben« gehst, desto größer wird der Radius. Das wird ganz klar ein Kegel.
Nun können wir ja mal ein paar Punkte suchen, die auf diesem Kegel liegen. Wie wär’s z.B. mit (1,0,1)? 1²+0²-1²=0. Passt.
Oder (Wurzel(2),Wurzel(2),2)? Mal sehen: Wurzel(2)²+Wurzel(2)²-2²=0. Passt auch.
Oder die Kegelspitze: (0,0,0), denn 0²+0²-0²=0. Passt.
Du kannst Dir beliebig viele Punkte ausdenken, die auf diesem Kegel liegen.
Jetzt verändere ich in der Kegelgleichung nur ein Vorzeichen: x²+y² + z²=0. Welche Punkte liegen da nun drauf?
Hmm, die Kegelspitze immer noch: 0²+0²+0²=0.
Aber wenn ich jetzt für x, y oder z etwas anderes als 0 einsetze, dann wird x²+y²+z² immer positiv. Probieren wir (-1,0,0): (-1)²+0²+0²=1, nicht 0.
Diese »Fläche« besteht also nur aus dem Punkt (0,0,0).
Nun ja, nicht ganz: Es gibt ja da noch diese imaginären Zahlen. Setzen wir z.B. (1,0,i) ein, so sehen wir 1²+0²+i²=0. Passt also.
Wir brauchen also imaginäre Zahlen, um Werte für x,y,z zu finden, die x²+y²+z²=0 erfüllen. Deshalb heißt die »Fläche«, die durch x²+y²+z²=0 beschrieben wird, imaginär. (Das konkrete Beispiel ist der imaginäre Kegel.)
Aber ich setze »Fläche« in Anführungsstriche, denn ein Punkt (so, wie man sich einen Punkt vorstellt) ist (1,0,i) ja keineswegs.
Die Aussage, dass es eine imaginäre Fläche gar nicht gibt, ist also gar nicht so verkehrt. Wobei der imaginäre Kegel immerhin noch einen Punkt enthält.
Liebe Grüße
Immo