Hallo liebe Leute,
hab´ mal wieder eine Aufgabe deren Lösung mir einfach nicht einfallen will.
Gehen wir von einem Quadrat mit Kantenlänge a aus. Nun stechen wir in einen Eckpunkt mit dem Zirkel (Radius a) und schlagen in dem Quadrat einen Viertelkreis. Das gleiche machen wir vom gegenüber liegenden Eckpunkt aus. Wir erhalten eine Art Ellipse in dem Quadrat, deren Flächeninhalt ich noch ausrechnen kann: (Viertelkreis-Flächeninhalt des Quadrates/2)*2
Jetzt schlagen wir um die zwei verbliebenen Eckpunkte ebenfalls Viertelkreise und erhalten somit in dem Quadrat eine Art Kreuz, also zwei übereinander liegende um 90° verdrehte Ellipsen.
Gesucht ist nun der Flächeninhalt dieser Figur, daran bin ich bisher gescheitert, zudem die Aufgabe mit Pythagoras und trigon. Fkt. lösbar sein muss, also keine Integration o.ä.
Die Aufgabe stammt aus einem Mathebuch der 9/10 Klasse.
Wir erhalten eine Art
Ellipse in dem Quadrat, deren Flächeninhalt ich noch
ausrechnen kann: (Viertelkreis-Flächeninhalt des
Quadrates/2)*2
die Formel stimmt, statt „Ellipse“ würde ich eher „Linse“ sagen.
Der schwierigere Fall - das soll die Schnittmenge der beiden Linsen sein?
Du könntest diese Figur erstmal durch einen senkrechten und einen waagerechten Strich vierteilen, dann hast Du 4 symmetrische Teile. Jedes Teil kannst Du nochmal in ein rechtwinkliges Dreieck und ein Kreissegment teilen. Den Mittelpunktswinkel vom Kreissegment bekommt man heraus, wenn man sich ne schöne große Skizze macht. Naja, und dann z.B. mit dieser Formel hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Kreissegment
Ziemlich umständlich, aber was Einfacheres sehe ich gerade nicht.
…danke erstmal, aber so ganz steig´ ich nicht durch. Das rechtwinklige Dreieck das ich bekomme besteht an einer Seite nicht aus einer Geraden sondern aus einem Bogen.
Aber selbst wenn es eine Gerade wäre, wüsste ich immer noch nicht weiter
Verzweifelte Grüße
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
…danke erstmal, aber so ganz steig´ ich nicht durch. Das
rechtwinklige Dreieck das ich bekomme besteht an einer Seite
nicht aus einer Geraden sondern aus einem Bogen.
Naja, den Bogen sollst Du ja abtrennen. Dann erhälst Du ein rechtwinkliges Dreieck und ein Kreissegment. Und die Flächenformel für das Kreissegment steht in dem link.
Klar? Wenn nicht dann melde Dich nochmal. Aber für ne Skizze habe ich keine Zeit.
…ist mir ja schon peinlich, aber ich seh´ einfach kein rechtwinkliges Dreieck. Wie soll ich das Quadrat vierteln? von den Eckpunkten aus oder von den Seitenmitten?
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…ist mir ja schon peinlich, aber ich seh´ einfach kein
rechtwinkliges Dreieck. Wie soll ich das Quadrat vierteln? von
den Eckpunkten aus oder von den Seitenmitten?
Hallo Tom,
ich versuche mich seit einiger Zeit an Deiner Aufgabe, habe auch eine schnelle Skizze gemacht, da ist der Dreieck drin: http://reiche-dresden.de/aufgabe_10_Klasse.png . Allerdings weiß ich nicht, wie man den Mittelpunktswinkel alpha ermitteln kann (anders als durch Messung natürlich). Sonst wäre es ja nicht so schlimm.
Gruß,
Floo Powder
PS Skizze wurde mit einem kostenlosen Grafik-Programm angefertigt, daher die nicht allzu berauschende Qualität.
sehr schöne Zeichnung, ist auch genau das, was ich gemeint hab
). Sag mal, wie kommt man (mathematisch) zu dem Winkel?
In diesem Bild hier http://www.bilder-hochladen.net/files/27uf-2.jpg
ist der hellblaue Strich Wurzel-aus-3-halbe mal a (Phytagoras), und der Winkel zwischen den roten Strichen ist dann 60° (Trigonometrie). Wegen der Symmetrie ist dann der gesuchte Mittelpunktswinkel des Kreissegments 30°.
Es drittelt sich also alles schön. Ob man das noch einfacher sehen kann, weiß ich nicht.
In diesem Bild hier http://www.bilder-hochladen.net/files/27uf-2.jpg
ist der hellblaue Strich Wurzel-aus-3-halbe mal a
(Phytagoras), und der Winkel zwischen den roten Strichen ist
dann 60° (Trigonometrie). Wegen der Symmetrie ist dann der
gesuchte Mittelpunktswinkel des Kreissegments 30°.
Es drittelt sich also alles schön. Ob man das noch einfacher
sehen kann, weiß ich nicht.
alles klar, ich danke Euch…ist doch aber etwas heftig für
10.Klasse, oder?
Na ja, für Leistungskurs ist es vielleicht in Ordnung. Oder als „Aufgabe mit Sternchen“. Ich nehme an, wenn man sich mit dem Stoff tagtäglich beschäftigt und ein gutes Auge für ähnliche Dreiecke hat, geht das schon.
. Sag mal, wie kommt man (mathematisch) zu dem Winkel?
