Flächenberechnung durch Integrale

Wissenschaft Mathematik
#1

Halllo!

Ich hab ein kleines Problem mit einigen Aufgaben, die ich zum Thema Integral, Flächenberechnung etc bearbeiten wollte, es ist auch leidet etwas schwierig zu erklären, dennoch hoffe ich auf eure Hilfe.

Also ich habe hier mehrere auf einen Sachkontext bezogene Aufgaben.
Es geht eigentlich immer darum, dass ich eine bestimmte Funktion gegeben habe, zB f(t)= Fischbestand zum Zeitpunkt t.

In den Aufgaben tauchen dann so Fragen auf wie, wie groß ist der Fischbestand nach 2 Jahren?
Eigentlich würde ich ja ganz simpel sagen, man muss hier ja nur 2 als Zeitpunkt einsetzen, und das ganze dann ausrechnen, und schon hat man seine Lösung.

Allerdings finde ich hier in meiner Mappe bei doch vom Prinzip her sehr ähnlich erscheinenden Aufgaben plötzlich irgendwelche Lösungswege mit Integral und Flächenberechnung wieder.

So nach dem Motto, wenn ich sone Funktion habe, berechne ich die Fläche die der Graph und die x-Achse einschließen und das ist dann die Lösung.
Nun kann doch aber nicht beides stimmen?!

Ich bräuchte mal eine klare Ansage, in welchem Fall man wie rechnen muss. Das muss ja was mit der Ausgangsfunktion zu tun haben oder?
zB. wenn es sich um eine Funktion handelt die schon den „Fischbestand“ angibt, dann kann man einfach den Zeitpunkt t einsetzen und erhält die richtige Lösung.
Und wenn es sich um eine Art „Wachstumsfunktion“, ich hab hier als BSp. zB eine „Änderungsrate“ des Fischbestandes, dann muss man wenn man den Bestand haben will, vielleicht das Integral, also die Fläche berechnen?

Ich hoffe irgendwer versteht mein Problem, ich kann es leider wirklich nicht besser ausdrücken!

Vielen Dank schon mal!

#2

Hey Tina-Helen,

ich hoffe mal, ich habe die Frage richtig verstanden.

Es gibt, wie du schon gesagt hast, die 2 verschiedene Fragestellungen:

  1. Du bekommst eine Funktion f, die dir den Bestand zu einem bestimmten Zeitpunkt angibt. Bei diesen musst du nur den Zeitpunkt einsetzen, der dich interessiert.

  2. Du bekommst die Änderungsrate, also f’.
    Um jetzt den Bestand zu bekommen, musst du also des Integral bilden, also f’ aufleiten und du bekommst f, welche dir wieder deinen Bestand angibt.

Meistens ist es bei solchen Aufgaben so, dass gesagt wird, zu dem Zeitpunkt 2 sind 500 Fische vorhanden. Die Änderungsrate wird durch die Funktion f(x) = … beschrieben. Wie groß ist der Fischbestand nach 2 weiteren Zeitschritten?
Vorgehensweise wäre dann, die Stammfunktion zu bilden und durch die Angabe „Zum Zeitpunkt 2 500 Fische“ kannst du sie sogar explizit ausrechnen. Diese Stammfunktion gibt dir dann immer die genaue Fischbestände an.

Gruß René

#3

Hallo Rene!
Danke für die schnelle Antwort!
Also okay, 1. hab ich jetzt schonmal komplett verstanden :wink:
Wenn ich ne Funktion habe, die den Bestand zu nem bestimmten Zeitpunkt t angibt, brauch ich natürlich nur noch t einzusetzen.

So und zu 2.
Also sofern ich irgendwas in Richtung „Änderungsrate“ (kann man doch mit Wachstum gleichsetzen oder?) habe, muss ich, um einen Bestand auszurechnen, die Stammfunktion bilden:
und dann? Du sagst jetzt diese Stammfunktion gibt mir jetzt meinen Bestand an, also heißt das, ich muss nur noch bsp t=20 in meine Stammfunktion einsetzen? oder doch mit der Stammfunktion ne Flächenberechnung durchführen?

Das mit dem „zum Zeitpunkt 2 sind 500 Fische vorhanden…“ hab ich jetzt auch noch nicht ganz verstanden, also wenn mir sone Info zusätzlich zur Verfügung steht kann ich die Stammfunktion explizit ausrechnen,
also heißt das, sogar bis auf den letzen Faktor, den man sich sonst
nur ausdenken kann? Wenn ja, wie? Ich stehe gerade etwas auf dem Schlauch.

Sorry, dass ich mich so doof anstelle :wink:

Liebe Grüße

#4

Hey Tina-Helen,

die Änderungsrate gibt dir die Änderung an der jeweiligen Stelle. Andere Namen dafür sind Steigung, Differenzenquotient, Ableitung,…

Du sagst jetzt diese Stammfunktion gibt mir jetzt meinen Bestand an, also heißt das, ich muss nur noch bsp t=20 in meine Stammfunktion einsetzen? oder doch mit der Stammfunktion ne Flächenberechnung durchführen?

Das hängt von der Aufgabe ab - eig berechnest du immer die Fläche. Nur bei manchen Aufgaben läuft es darauf hinaus, dass man es nur in die Stammfunktion einsetzen muss. Nach dem Hauptwert der Integralrechnung gilt ja:
\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
Wichtig ist es dann, dass du deine Ergebnisse richtig interpretierst.

Wenn du deinen Wert t einfach in die Stammfunktion einsetzt, bekommst du den Bestand im Zeitpunkt t.
Sollte jetzt aber die Frage sein, um wieviel er gestiegen ist von einem früheren Zeitpunkt an, musst du
(Bestand nach t Zeitschritten) - (Bestand vom früheren Zeitpunkt)
ausrechnen. Dies entspricht genau der Flächenberechnung :smile:

Ich hoff, ich hab nicht mehr Verwirrung geschaffen :confused:
Zusammengefasst könnte man sagen: Wenn es auf den Bestand ankommt und nicht auf die Vermehrung, musst du es nur in die Stammfunktion einsetzen.

Gruß René

#5

Edit: Hauptsatz der Integralrechnung…owT
.

#6

Hallo Tina-Helen,

das Wesentliche dazu hat TheBozz schon richtig erklärt. Diese Art Aufgabenstellung ist in den Naturwissenschaften übrigens enorm weit verbreitet – es ist praktisch der Aufgabentyp der Analysis überhaupt – und er hat auch einen Namen: Man nennt es Anfangswertproblem.

Das Problem: Vorgegeben ist eine Änderungsrate f’(t) und ein Punkt (T, f(T)) einer Funktion f(t). Beispiel: Ein Fischbestand ändert sich mit der Rate f’(t) = 500 e–0.82 t und zum Zeitpunkt T = 2 gibt es gerade f(2) = 500 Fische. Gesucht ist die Funktion f(t), mit der, wenn Du sie herausgefunden hast, den Fischbestand f zu jedem beliebigen Zeitpunkt t ausrechnen kannst.

In Kurzform: f’ und Anfangsbedingung (T, f(T)) gegeben ⇒  f(t) = ?

Die Lösung: Du überlegst Dir eine Stammfunktion der gegebenen Änderungsratenfunktion f’. Das ist im allgemeinen noch nicht die Funktion f, aber fast. Genauer: f ist ein Element der Menge aller Stammfunktionen von f’, die sich alle nur um eine additive Konstante C unterscheiden: das „+ C“. Genau eine davon ist „die richtige“, nämlich die, die zu der vorgegebenen Anfangsbedingung, hier f(2) = 500 passt. Also musst Du denjenigen Wert der Integrationskonstante C ausrechnen, für den die Anfangsbedingung, hier f(2) = 500 erfüllt ist. Dann ist die Aufgabe gelöst. Die anschließende Auswertung von f für irgendwelche Zeitpunkte t, z. B. t = 7 oder t = 32 ist dann eigentlich nur noch eine banale Angelegenheit.

In Kurzform: f’-Stammfunktion f finden, danach Integrationskonstante C anhand der Anfangsbedingung bestimmen.

zB. wenn es sich um eine Funktion handelt die schon den
„Fischbestand“ angibt, dann kann man einfach den Zeitpunkt t
einsetzen und erhält die richtige Lösung.
Und wenn es sich um eine Art „Wachstumsfunktion“, ich hab hier
als BSp. zB eine „Änderungsrate“ des Fischbestandes, dann muss
man wenn man den Bestand haben will, vielleicht das Integral,
also die Fläche berechnen?

Genau so ist es. Damit hast Du Dir die Antwort im Grunde schon selbst gegeben :smile:

Gruß
Martin