Flächenberechnung mit Integral

Wissenschaft Physik
#1

Hallo,

ich versuche im Moment ein mir selbst gestelltes Problem zu lösen.
Leider fehlen mir dazu die nötigen mathematischen Kenntnisse.
Ich hoffe, dass sie mir dabei helfen können.

Also ganz grob möchte ich den Flächeninhalt einer Seeoberfläche berechnen. Da ich schon viel von der Integralrechnung gehört habe möchte ich diesen Weg einschlagen.
Der See sieht ungefähr wie ein liegendes, lang gestrecktes „S“ aus.
Ähnlich wie eine Banane oder so was.
Gegeben ist nur ein Bild von dem See von oben. Die zwei Linien, die den See umschließen, kann man in in ein Koordinatensystem legen und als zwei getrennte Funktionen betrachten. Ich kann ungefähr 3-4 genaue Punkte pro Graf ablesen, danach wird es ungenau.

Was muss ich jetzt machen. Wie finde ich die zugehörige Funktionen ?
Und wie kann ich dann die Flächen unter den Grafen berechnen?

Ich hoffe ihr könnte mir helfen und bedanke mich schon jetzt dafür.

Aber bitte möglichst einfach erklären, wie schon gesagt habe ich nicht mathmatik studiert und bin eher eine Leihe in diesem Gebiet.

MfG
Benjamin

#2

Hallo,

es ist relativ schwierig, von einer beliebigen Form die mathematische Funktion zu bestimmen. Und letztere wird benötigt, wenn ein Integral gebildet werden soll.

Eine alternative Methode – welche früher bei der Landvermessung durchaus üblich war – wäre die Wägung einer ausgeschnittenen Papierfläche, auf der der See abgebildet ist. Der zweite Gewichtswert wäre dann ein Rechteck, dessen Fläche man kennt. Der Rest ist Dreisatz.

Gruß

Dieter

#3

Alternativvorschlag
Hallo,

die beste Flächenbestimmung kriegst du hin, wenn du aus dem Bild den See ausschneidest und dann wiegst, und mit dem Gewicht des gesamten Papiers vergleichst. Dazu brauchst du allerdings eine gute Waage…

Grüße,
Moritz

#4

Gleicher Vorschlag in just derselben Minute…

allerdings eine gute Waage…

…oder eine große Fläche.

Gruß

Dieter

#5

Hallo,

leider weiß ich die Intention deiner Frage nicht. Fragst du nach den mathematischen Hintergründen, oder nach der Lösung eines speziellen Problems?

Hintergründe kann ich dir keine liefern, aber oftmals haben Bildverarbeitungsprogramme eine Flächenberechnungsfunktion. D.h. du lädst ein beliebiges Bild, trägst den zugehörigen Maßstab ein und zeichnest die von dir gewünschte Fläche nach (oder läßt sie durch ein geeignetes Werkzeug erkennen (See = einheitliche Farbe?)). Danach sagt dir das Programm den genauen Flächeninhalt.

Falls dein Programm keine Flächenberechnung hat, sondern nur eine Längenmessung, dann kannst du auch die gesamte Uferlinie bestimmen lassen. Dann nimmst du an, diese Uferlinie sei der Umfang eines Kreises, rechnest über die Formel für den Kreisumfang den Radius aus, und bestimmst mit diesem Radius den Flächeninhalt des Kreises. Wegen Flächentreue entspricht der Flächeninhalt des Kreises dem Flächeninhalt deins Sees.

Alternativ, ohne Bildverarbeitung, kannst du versuchten, händisch mit einem Faden die Uferlinie „nachzulegen“. Anschließend mißt du die verbrauchte Fadenlänge und verfährst wieder nach Kreisumfang-Flächeninhalt.

Falls dein Seebild groß genug ist, kannst du versuchen mit einem „Streckenzähler“ die Uferlinie nachzufahren. Mit diesen „Streckenzählern“ werden normalerweise Entfernungen auf einer Landkarte bestimmt.

Ich kenne nun deinen See nicht, aber falls du mit einer gewissen Ungenauigkeit leben kannst, kannst du auch versuchen die Uferlinie einfach mit einer Annäherung an gerade Strecken zu ermitteln. Also an die längeren Uferpartien lange Strecken annähern, an die stark gekrümmten Partien legst du entsprechend kurze Streckabschnitte. Dann wieder nach Kreisverfahren vorgehen.

Gerhard

#6

Auch hallo.

Also ganz grob möchte ich den Flächeninhalt einer
Seeoberfläche berechnen. Da ich schon viel von der
Integralrechnung gehört habe möchte ich diesen Weg
einschlagen.
Der See sieht ungefähr wie ein liegendes, lang gestrecktes „S“
aus.

So ähnlich wie hier: http://www.wissenschaft-online.de/spektrum/projekt2/… (Zeichnungen Seite 10 & 11)

Und wie kann ich dann die Flächen unter den Graphen berechnen?

So ähnlich wie in der Datei, allerdings mit bedeutend mehr Rechenschritten. Zum einen rechnet man die Gesamtfläche aus, dann die Fläche unter dem See und danach die über dem See. Was schon einiges an Aufwand bedeuten wird…
Und das Schlagwort heisst „Riemann Integral“: http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_integral , http://www.google.de/search?hl=de&q=%22Riemann-Integ…
Numerische Integration wird man mangels bekannter Funktion f(x) wohl ausscheiden.

HTH
mfg M.L.

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http://www.wissenschaft-online.de/spektrum/pdf/frei/…

#7

Hallo,

ihr habt mich falsch verstanden.
Also zunächst möchte ich die Lösung mit der Integralrechnung machen.
So weit ich weiss kann man ein Funktion bestimmen wenn man ein paar Schnittpunkte von ihr hat. Nur weiss ich nicht wie. Das wollte ich zuerst wissen.

Zweitens kann man mit der gefundenen Funktion, dann mit hilfe der Integralrechnung den Flächeninhalt unter dem Grafen berechene.
Aber wie frage ich euch ??

Hoffe dass alles klar ist und bedanke mich schon jetzt auf neue Lösungsvorschläge.

MfG
Benajmin

#8

…Roulette spielen kann auch helfen :smile:
Hallo nochmal.

Mit dem Titel ist mehr die ‚Monte Carlo Simulation‘ gemeint:
die Fläche (Landkarte mit Fluss) wird mit sehr vielen und vor allem zufälligen Punkten im x,y-Raum ‚bombardiert‘. Danach zählt man die Gesamtpunkte und die Zahl der Flusstreffer. Dann teilt man ‚Flusstreffer‘ durch ‚Gesamttreffer‘ und multipliziert dieses mit dem doch hoffentlich exakt bekannten Flächeninhalt. Und je mehr Punkte man simuliert desto genauer das Endergebnis :wink:

HTH
mfg M.L.

#9

Hallo,

So weit ich weiss kann man ein Funktion bestimmen wenn man ein
paar Schnittpunkte von ihr hat. Nur weiss ich nicht wie. Das
wollte ich zuerst wissen.

Das geht nur, wenn du schon die Form der Funktion weisst, also ob es z.B. ein Polynom, eine Exponentialfunktion etc. oder eine Kombination daraus ist. Leider wird das bei einer natürlich auftretenden Küstenlinie nicht leicht sein, die kümmern sich im Allgemeinen nicht um die Mathematik und ihre Funktionen.

Vermutlich ist es leichter, wenn du den See in zwei Hälften aufteilst, und ihn entlang der Schnittgeraden in Rechtecke aufteilst, von denen du leicht die Fläche bestimmen kannst.

Zweitens kann man mit der gefundenen Funktion, dann mit hilfe
der Integralrechnung den Flächeninhalt unter dem Grafen
berechene.
Aber wie frage ich euch ??

Hm. Kommt auf die Funktion drauf an. Aber prinzipiell setzt Integralrechnung gute Kenntnisse der Analysis voraus - hast du die denn? bist du dir sicher, dass du wirklich unbedingt Integrale brauchst? vermutlich wird das nicht der genaueste Weg in deinem Fall, auch wenn es bei einer bekannten Funktion die Vorgehensweise der Wahl ist…

Grüße,
Moritz

#10

Hallo Benjamin,

geht es dir um die Lösung eines Problems - hier Flächeninhalt des Sees, dann verwende eine einfache dir bekannte oder für dich realisierbare Methode.

z.B. male deinen See auf Millimeterpapier, zähle die
vollen Kästchen, die „halben“ Kästchen schätzt du
grob ab, danach Multiplikation mit dem Flächeninhalt
eines Kästchens - fertig.

Ansonsten wäre dein Herangehen für mich nicht nachvollziehbar,
man überlegt sich i.a. nicht eine Aufgabe, und wählt dann nach
Gutdünken ein mathematisches Verfahren aus, das man verwenden möchte, welches man gar nicht kennt.
Zum Einlesen :
http://www.unet.univie.ac.at/~a9805206/
http://www.mathproject.de/Integralrechnung/Integralr…
http://de.wikipedia.org/wiki/Integralrechnung

Liebe(s) Gruess(l)e
R2D2

#11

Wegen Flächentreue entspricht
der Flächeninhalt des Kreises dem Flächeninhalt deins Sees.

entschuldige, aber… hmm? demnach haben deines erachtens alle geometrischen figuren mit dem gleichen umfang auch den gleichen flächeninhalt? oder hab ich da was falsch verstanden?

#12

Hallo,

Falls dein Programm keine Flächenberechnung hat, sondern nur
eine Längenmessung, dann kannst du auch die gesamte Uferlinie
bestimmen lassen. Dann nimmst du an, diese Uferlinie sei der
Umfang eines Kreises, rechnest über die Formel für den
Kreisumfang den Radius aus, und bestimmst mit diesem Radius
den Flächeninhalt des Kreises. Wegen Flächentreue entspricht
der Flächeninhalt des Kreises dem Flächeninhalt deins Sees.

Alternativ, ohne Bildverarbeitung, kannst du versuchten,
händisch mit einem Faden die Uferlinie „nachzulegen“.
Anschließend mißt du die verbrauchte Fadenlänge und verfährst
wieder nach Kreisumfang-Flächeninhalt.

Also das ist gelinde gesagt Nonsens.
Am Beispiel eines Flusses wird klar, dass das nicht stimmen kann. Da hat man nämlich oft eine große Länge, aber die Fläche ist sehr klein.

Gruß

Dieter