Hallo Larissa!
Bei den „einfacheren“ geometrischen Figuren ist es oft recht hilfreich, wenn man einfach versucht aus der gegebenen Figur durch anfügen oder verschieben auf eine bekannte Fläche zu kommen, vorzugsweise ein Rechteck, dessen Inhalt man ja recht leicht berechnen kann.
- Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks das
rechtwinklig ist ?
Mal dir mal ein beliebiges rechtwinkeliges Dreieck, und zwar so, dass du den rechten Winkel etwa links unten machst. Das sieht dann (zum Beispiel) so aus:
|\
| \
| \
| \
-----
Wenn du da jetzt etwas genauer hinsiehst, dann sieht das schon stark nach einem halben Rechteck aus. Es ist leicht zu zeigen, dass dem auch so ist. Folglich ergibt sich der Flächeninhalt aus dem Produkt der beiden Katheten durch 2. Wir stellen jetzt gleich mal eine gewagte These auf: Bekanntlich ist ja bei einem rechtwinkeligen Dreieck eine Kathete gleichzeitig auch die Höhe auf die jeweils andere Kathete (also b=ha und a=hb). Ich behaupte jetzt mal: A=(a*ha)/2=(b*hb)/2=(c*hc)/2.
- Wie ist die allgemeine Formel für die Berechnung des
Flächeninhalts eines Dreiecks ?
Wir zeichnen uns mal ein allgemeines Dreieck (ich bring’ hier leider nur gleichschenkelige hin, aber es funktioniert wirklich auch mit beliebigen anderen Dreiecken - probier’s einfach mal aus).
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
\ /
\ /
\ /
\ /
\ /
V
Natürlich brauchen wir jetzt auch noch die Höhe. Ich nehme aus darstellerischen Gründen die auf die obere Seite
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
\ | /
\ | /
\ | /
\ | /
\|/
V
Wir stellen fest: Die Höhe teilt das Dreieck in 2 Teile. Von oben wissen wir ja schon: jeqweils die beiden Katheten der rechtwinkeligen Dreiecke multiplizieren und durch zwei teilen - dann haben wir den Flächeninhalt. Ich bezeichne mal die obere Seite mit a, den linken Teil der oberen Site mit x und den rechten mit y. Wir erhalten: A=(x*ha)/2+(y*ha)/2=(x+y)*ha/2=A=(a*ha)/2 weil ja a=x+y. Toll, nicht? Bei Dreiecken mit einem stumpfen Winkel sieht das etwas anders aus, da darfst du dichj mal selbst spielen. Ein Tipp: zeichne es dir auf, zeichne dir das Rechteck aus Site und Höhe ein und versuche die Teile des Dreiecks, die jetzt ausserhalb liegen in das Rechteck „hineinzuklappen“…
- Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Trapezes ?
Weil wir wir uns ja mit Dreiecken mittlerweile gut auskennen könnten wir einfach sagen: Ein Trapez ist nichts anderes, als ein Rechteck, an das links und rechts (wenn die parallelen Seiten oben und unten sind) noch ein Dreieck (netterweise sogar je ein rechtwinkeliges) „angestückelt“ sind. Es gibt aber auch noch einen anderen Weg (der logischerweise zum gleichen Ergebnis führt): Wir nehmen wieder mal ein beliebiges Trapez her (bei mir ist es wieder gleichschenkelig, aber es geht auch mit anderen - einfach probieren):
\_\_\_\_\_\_
/ \
/ \
/ \
/\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\
Ich mach jetzt einfach mal in der Mitte eine Linie quer durch:
\_\_\_\_\_\_
/ \
\_\_/\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
/ \
/\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\
An den Schnittpunkten der Linie mit dem Trapez zeichne ich jetzt noch jeweils eine Senkrechte (am Papier, hier verlassen mich jetzt leider die gestalterischen Möglichkeiten). Diese Senkrechten teilen in der unteren Hälfte des Trapezes ein Dreieck ab, das - wie man leicht erkennen kann - genau gleich gross ist, wie die Dreiecke, die oben fehlen um aus den beiden parallelen Seiten des Trapezes und unseren neuen Senkrechten ein Rechteck zu machen. Logischerweise ist also der Flächeninhalt des Trapezes gleich dem Flächeninhalt unseres neuen Rechtecks. Bloss: Wie gross ist der? Die eine Seite des Rechtecks ist ja offensichtlich die Höhe des Trapezes. Die andere ist - auch das sollte nicht schwer zu zeigen sein - (a+c)/2 (also die obere plus die untere Seite durch zwei). Und wieder sind wir fertig 
- Kennt ihr vielleicht eine gute Seite oder ein Buch, wo
solche Formlen auch für „Dumme“ ;o) übersichtlich aufgelistet
sind ?
Befrag mal Google zu Formelsammlung und Geometrie. Gleich der erste Link führt uns hierhin: http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/mathe.htm
Dort findest du schon mal die einfacheren Formeln.
Etwas weitergehend (2. Link): http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Geometrie
Aus den anderen 24.298 Links darfst du dir selbst raussuchen, was dir gefällt 
Hoffe das war einigermassen verständlich und hilft dir weiter. Vor allem aber sollte dir das eines zeigen: Mit etwas Übung (ja ich weiss, man braucht da einen Blick dafür, aber das kommt mit der Zeit) brauchst du dir nicht mehr alle Formeln merken, man kann ziemlich vieles auf die Schnelle herleiten.
Ach ja, an die Gurus unter euch: Mir ist durchaus klar, dass ich hier keine kompletten Beweise geführt habe. Ich wollte die Formeln ja auch gar nicht beweisen, sondern einfach nur herleiten
Gruß
Martin