Flächeninhalt eines Ellipsenstückes

Wissenschaft Physik
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Hallo.

kann mir jemand sagen, wie ich den Flächeninhalt eines derartigen Ellipsenstückes

http://maggi1987.ma.funpic.de/fa/fl%e4cheninhalt%20e…

berechenen kann? Geht das über das Integral? oder gibt es noch einen einfacheren Weg?

MfG BioLoser

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Hallo,

kann mir jemand sagen, wie ich den Flächeninhalt eines
derartigen Ellipsenstückes

http://maggi1987.ma.funpic.de/fa/fl%e4cheninhalt%20e…

berechenen kann? Geht das über das Integral?

Ja. Du brauchst die Ellipsengleichung x²/a² + y²/b² = 1 und musst die nach y auflösen. Dann brauchst du die Geradengleichung, y = m x + t und musst die beiden gleichsetzen. Dann bekommst du zwei Schnittpunkte. Dann musst du vier Flächenstücke getrennt berechnen:

  1. Ellipse - Gerade vom ersten Schnittpunkt bis zu dem Punkt A, wo die Gerade die x-Achse schneidet (B)
  2. Ellipse von A bis nach ganz rechts.
  3. vom unteren Schnittpunkt von Ellipse und Gerade (nennen wir ihn C) bis nach ganz rechts.
  4. das Dreieick unterhalb der x-Achse, das durch B und C eingegrenzt wird.

oder gibt es noch
einen einfacheren Weg?

ka, in Geometrie war ich schon immer schlecht :wink:

Grüße,
Moritz

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Hier bietet sich die Möglichkeit der Sektorflächenberechnung an:

Verwendung der Sektorformel von Leibniz

Gegeben sei folgende Ellipsen-Parameterdarstellung (-π1, t2] überstreicht berechnen:

F =
t2
∫ 1/2(xy’-yx’)dt =
t1

t2
∫ 1/2(a*cos(t)*b*cos(t) + b*sin(t)* a*sin(t))dt = ab(t2-t1)
t1

In unserem Fall also F = 198 (t2-t1)

t1 und t2 werden durch die zwei Schnittpunkte der Geraden g(x) = -4/3x+12 bestimmt:

Also
11*sin(t) = - 24*cos(t) + 12
wegen
sin²(t) = 1-cos²(t) und nach cos(t) aufgelöst:

cos(t) = 1/697 (288 - 11Wurzel(553)) oder cos(t) = 1/697 (288 + 11Wurzel(553)).
Zur Kontrolle: t muss so gewählt werden, dass t1 im 4.Quadranten und t2 im 1.Quadranten liegt.

Ich erhalte ungefähr t1 ~ -0,67 und t2~1,53

Jetzt muss nur noch die Fläche des Dreiecks (0,0), (x(t1),y(t1)), (x(t2),y(t2)) von der Sektorfläche abgezogen werden.

Man kann die Sektorflächen auch mittels der Polarform bestimmen:

F =
phi2
∫ 1/2 r²(phi) dt
phi1

Die Polarform der Ellipse lautet:

r²(phi) = (11*18)²/(11^2*cos²(phi)+18^2sin²(phi))
und der Geraden:
rg(phi) = 36/(3sin(phi)+4cos(phi))

Der Rest funktioniert analog.

Gruss Frank

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

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Vielen vielen Dank! du hast mir sehr geholfen!

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t2
∫ 1/2(a*cos(t)*b*cos(t) + b*sin(t)* a*sin(t))dt =ab(t2-t1)
t1

Da habe ich das 1/2 unterschlagen: Es muss lauten:

F = 1/2*ab(t2-t1)

In unserem Fall also F = 198 (t2-t1)

F = 99 (t2-t1)

Man kann die Sektorflächen auch mittels der Polarform
bestimmen:

F =
phi2
∫ 1/2 r²(phi) dt
phi1

statt dt natürlich dphi

Gruss Frank