Flyby, Hyperbel, Grenzwertberechnung

Wissenschaft Physik
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Hallo an alle!

Damit ihr mal wisst um was es geht:

Ich beschäftige mich gerade mit Flyby’s, im folgenden geht es um eine Hyperbel. Im Prinzip geht’s um die Lösung der Gleichung eines Kegelschnittes in Polarkoordinaten r(phi). Die DGL hab ich mit Hilfe der Zylinderkoordinaten gelöst und soll jetzt durch die getroffene Wahl der Anfangsbedingungen (AB) die DGL lösen.

Eigentliche Frage:

Ich weiß leider überhaupt nicht wie ich die Frage stellen soll, aber vielleicht weiß trotzdem jemand was ich damit meine… also:

(*) r^2*phi_punkt = const (vgl. mit Flächengeschwndigkeit nach Keppler).
(*) AB1: t=0; r_punkt(phi=0)=v v sei hier die Geschwindigkeit im
Unendlichen, sozusagen die Anfangsgeschwindigkeit.
(*) AB2: t=0; r(phi=0)=unendlich

Wieso wird mit den AB folgender Ausdruck…:

r_punkt / ( r^2*phi_punkt ) = XYZ

zu dem…:

v / ( v*h ) = 1/h ???

Wobei h der Normalabtand zwischen Hyperbelasymptote und Brennpunkt ist (also dem Mittelpunkt des Planeten und Flugbahn des Satellits im unendlichen).

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand bei dem Problem (oder meiner
Begriffsstutzigkeit) weiterhelfen könnte. Ich kann euch das Problem in Form eines .pdf auch gerne zukommen lassen, falls das hilft.
Achja, ich bräuchte das bis spätestens Freitag Abend :o).

Vielen Dank,
Lugi

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Flyby

Damit ihr mal wisst um was es geht: Flyby’s

Fly by what?

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Hallo Frank!

Fly by what?

Es geht um diesen Satelliten und einen Planeten, meinetwegen die Erde:

zwischen Hyperbelasymptote und Brennpunkt ist (also dem Mittelpunkt des Planeten und Flugbahn des Satellits im unendlichen).

Ideal angenähert also einem Massenpunkt, der um einen weiteren Massenpunkt fliegt - im Vakuum. Es wirke nur die Zentralkraft.

mfg
Lugi

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Hallo an alle!

Achja, ich bräuchte das bis spätestens Freitag Abend :o).

Dann will ich mich einmal beeilen.

Damit ihr mal wisst um was es geht: Flyby’s, Hyperbel, DGL,
Anfangsbedingungen, Satellits

Ich nehme an, es geht um das Kepplerproblem.

Die Lösung dafür und wie man das integriert kann man in jedem Physikband über Mechanik nachlesen.

Tatsächlich erhält man Kegelschnitte als Lösung

p/r = 1 + e*cos(phi)

mit p und e bestimmt durch die Gesamtenergie E und den Drehimpuls M = m*r^2*(d*phi/dt).

Beide, E und M, sind bestimmt durch die Anfangsbedingung. Hyperbelbahnen (infinite Bewegung) hat man bei E > 0.

Typische Parameter für die Anfangsbedingung sind die Geschwindigkeit eines Körpers v(unendlich) und der Stoßparameter b, der Abstand der Asymptote vom Ursprung. Damit ist

E = 0.5*m*v(unendlich)^2

und

M = m*b*v(unendlich) oder M^2 = 2*m*E*b^2.

Im übrigen gilt

p^2 = (e^2 - 1)*b^2

und

p/b = 2*E/|U(b)|

wobei U® das Gravitationspotential ist.

Also v(unendlich), Stoßparameter b und das Potential U® legen die Bahn eindeutig fest.

Übrigens würde ich nicht t=0 und r=unendlich wählen. Ich weiß nämlich nicht, wie lange man warten müsste, bis das Teilchen den Scheitelpunkt durchquert…

Üblicherweise benutzt man

r(t=0) = r_min = p/(e+1).

Eine einfache Funktion r(t) ist mir nicht bekannt, wohl aber t®.
r(t) muss man wohl per Iterationsverfahren bestimmen.

Viel Erfolg bis Freitag.

Ich beschäftige mich gerade mit Flyby’s, im folgenden geht es
um eine . Im Prinzip geht’s um die Lösung der
Gleichung eines Kegelschnittes in Polarkoordinaten r(phi). Die
hab ich mit Hilfe der Zylinderkoordinaten gelöst und soll
jetzt durch die getroffene Wahl der (AB)
die DGL lösen.

Eigentliche Frage:

Ich weiß leider überhaupt nicht wie ich die Frage stellen
soll, aber vielleicht weiß trotzdem jemand was ich damit
meine… also:

(*) r^2*phi_punkt = const (vgl. mit Flächengeschwndigkeit nach
Keppler).
(*) AB1: t=0; r_punkt(phi=0)=v v sei hier die
Geschwindigkeit im
Unendlichen, sozusagen die Anfangsgeschwindigkeit.
(*) AB2: t=0; r(phi=0)=unendlich

Wieso wird mit den AB folgender Ausdruck…:

r_punkt / ( r^2*phi_punkt ) = XYZ

zu dem…:

v / ( v*h ) = 1/h ???

Wobei h der Normalabtand zwischen Hyperbelasymptote und
Brennpunkt ist (also dem Mittelpunkt des Planeten und Flugbahn
des Satellits im unendlichen).

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand bei dem Problem (oder
meiner
Begriffsstutzigkeit) weiterhelfen könnte. Ich kann euch das
Problem in Form eines .pdf auch gerne zukommen lassen, falls
das hilft.

Vielen Dank,
Lugi

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Hi Frank!

Ich nehme an, es geht um das Kepplerproblem.

Richtig :wink:.

Die Lösung dafür und wie man das integriert kann man in jedem
Physikband über Mechanik nachlesen.

Nachfolgende Lösung hab ich bereits hergeleitet:

p/r = 1 + e*cos(phi)

sind bestimmt durch die Anfangsbedingung.

Genau, es geht „nur“ mehr um die Lösung obiger Gleichung durch Anfangsbedingungen für eine Hyperbel. Ich hab die Lösung und Vorgangsweise vor mir, nur versteh ich einen Schritt nicht.

Es geht wie erwähnt um eine Grenzwertbetrachtung, also wirklich nur um den einen Schritt, der rein mathematischer Natur ist.

Für die Hyperbel gilt… AB:

(*) r^2*phi_punkt = const (Flächengeschwndigkeit = const)

Durch einige Umfomungen kommt man von oberer Lösung des Kepplerproblems auf r_punkt. Der Strahl für phi=0 liegt parallel der Hyperbelachse, ausgehend vom Brennpunkt (um den der Satellit fliegen soll). Der Abstand vom Strahl zur Tangente an die Hyperbelbahn sei h… also die Exzentrizität.

Für phi=0, also im Unendlichen ist die Bahngeschwindigkeit des Satelliten gleich der Tangentialgeschwindigkeit (Grenzwertbetrachtung). Daraus folgt:

(*) AB1: t=0; r_punkt(phi=0)=v
(*) AB2: t=0; r(phi=0)=unendlich bzw 1/r = 0

Mit einsetzen der AB in untere (schon umgeformte Gleichung) soll von dem…:

r_punkt / ( r^2*phi_punkt ) = XYZ

zu dem…:

v / ( v*h ) = 1/h

kommen. Kommt man auch, nur versteh ich die Vorgangsweise nicht.

Der Zähler ist noch logisch, weil AB1. Im Nenner steht r^2*phi_punkt was soviel ist wie: r*r*phi_punkt, wobei r*phi_punkt eine Geschwindikeit ist… im unendlichen eben v laut AB1.

Also ist das v im Nenner auchlogisch. Bleibt nur noch das verbleibende r im Nenner!? Wieso entspricht das r bei oberen AB der Exzentrizität?

Ich versteh den Schritt einfach nicht. Wieso ist r bei phi=0 nicht auch unendlich???

mfg
Lugi

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Mit einsetzen der AB in untere (schon umgeformte Gleichung)
soll von dem…:

r_punkt / ( r^2*phi_punkt ) = XYZ

zu dem…:

v / ( v*h ) = 1/h

h ist der Stoßparameter (Abstand der Asymptote vom Zentrum, v = v(unendlich)die Geschwindigkeit bei r -> unendlich.

Das Integral der Bewegung m*r^2*phi_punkt ist der Drehimpuls M, der die Form

Vektor::M = m*Vektor::r(t) x Vektor::v(t)

hatte, bevor man in Polarkoordinaten wechselte. x ist das Vektorprodukt.

Das die Komponente des Drehimpulses senkrecht zur Ebene, in der die Bewegung stattfindet, konstant ist, ist der Flächensatz.

Im Unendlichen ist

Vektor::r(t) x Vektor::v(t) = h*v(unendlich)

auch wenn es mir widerstrebt, das Symbol h für den Stoßparameter, der mit v(unendlich) den konstanten Drehimpuls festlegt, zu verwenden.

Also

r^2*dphi/dt = h*v(unendlich) ( = |M|/m)

Einsetzen liefert

v(unendlich) / (r^2*dphi/dt) = 1/h

Ich gebe zu, es ist ein wenig schwer verständlich, dass

Betrag(Vektor::r(unendlich) x Vektor::v(unendlich)) = h*v(unendlich).

D.h. lim(r->unendlich) von r*sin(phi) = h. Es folgt eben aus der Drehimpulserhaltung.

Da die Richtung von Vektor::v(unendlich) der der Asymptode ist und deren Abstand vom Ursprung eben h ist, ist |M|/m eben v(unendlich)*h.

Ich hoffe, das hilft.

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D.h. lim(r->unendlich) von r*sin(phi) = h.

Das stimmt nicht so. phi geht natürlich gegen phi_0 für r->unendlich.

Gemeint ist: r*sin(phi_0-phi)

Für r->unendlich geht phi->phi_0 mit

p/r = 1+e*cos(phi),

also 1 + e*cos(phi_0) = 0

Also mit phi = phi_0 - delta_phi:

p/r = 1 + e*cos(phi_0) + e*delt_phi * sin(phi_0)

= e * delta_phi*sin(phi_0).

Oder

r*sin(delta_phi) = p/(e*sin(phi_0)) = p/Sqrt(e^2-1)

Ich müsste jetzt in einer Mathe Formelsammlung nachschauen, aber ich wette

p/Sqrt(e^2-1) = h