Hi, sitze hier mit ein paar Büchern und Definitionen vor einer Anwendungsaufgabe und zwar: Für b >= 0 wird die Folge a_n n€N_0 rekursiv definiert durch a_0 = b + 1;
a_n = (a_n-1 + (b/a_n-1))/2
Wie kann ich hier verifizieren, dass alle Folgenglieder positiv sind? und untersuchen ob für alle n >= 0 die Ungleichung a_n >= sqrt(b) gilt???
Bitte um eine Schrittweise Vorgehensweise!!
Danke im voraus
lg Daniel
hi,
n€N_0 rekursiv definiert durch a_0 = b + 1;
a_n = (a_n-1 + (b/a_n-1))/2
Wie kann ich hier verifizieren, dass alle Folgenglieder
positiv sind?
durch vollständige induktion.
a_0 = b + 1 > 0; wenn a_n > 0, dann ist auch a_n+1 …
und untersuchen ob für alle n >= 0 die
Ungleichung a_n >= sqrt(b) gilt???
a_n = 1/2 * (a_n-1 + b/a_n-1) >= Wurzel(a_n-1 * b / a_n-1) = Wurzel(b)
denn das arithmetische mittel (x+y)/2 ist (für positive zahlen x, y) immer größer als das geometrische mittel Wurzel(xy)
damit kannst du auch nachweisen, dass die folge fallend ist, damit (mit der beschränkung nach unten) konvergent ist und damit lässt sich dann leicht der grenzwert berechnen.
hth
m.