Liebe/-r Experte/-in,
ich habe mehrere Aufgaben dieser Art zu bearbeiten und würde mich sehr freuen, wenn mir jemand diese Aufgabe mal, als Beispiel, vorrechnet, damit ich weiß, wie sowas auszusehen hat. Wär echt super
Es sei f: N -> N bijektiv und die reelle Zahlenfolge (a index n)index n konvergiere gegen ein a € R.
Beweisen Sie, dass dann auch (a index f(n)) index n € R gegen a konvergiert.
kann leider nicht antworten.
Gruesse,
Dina
Da kann ich leider nicht wirklich helfen, mein Studium ist schon ne ganze Weile her.
sry
Das liegt schon etwas zurück, deshalb bin ich mir nicht 100% sicher ob das stimmt:
a_n konvergiert gegen a nach Voraussetzung, d.h.
|a_n - a| N daraus folgt, dass
|a_f(n) - a| N, was bedeutet dass a_f(n) gegen a konvergiert.
Jetzt bleibt noch zu prüfen ob solche f(n) existieren. Und das ist so da f bijektiv und damit den ganzen Zielraum trifft und dieser ist abzählbar unendlich.
Übrigens gilt dass nur wenn dein N dass du verwendet hast ein IN also die natürlichen Zahlen sind!
war lange zeit ausser betrieb wegen krankheit udn so…
werde mich schlau machen ist aber nicht einfach
gruss
franz
Hallo,
betrachte die übliche Definition der Konvergenz gegen einen Grenzwert a mit Hilfe des epsilon-n0-Kriteriums "Für alle eps > 0 gibt es ein n0 aus N, so dass für alle n aus N, n>n0 gilt: |a_n - a|n1 => f(n)>n0 gilt, um dann obiges Kriterium mit n1 statt n0 auf a_f(n) anzuwenden. Das geht mit n1 = min{ f(n) : n
Hallo!
Sorry für die späte Antwort, ich hatte keinen Zugriff auf mein Postfach.
Es ist immer etwas schwierig, wenn die Aufgabe nicht „richtig“ formatiert ankommt, ich hoffe, ich verstehe Sie richtig.
Die Aufgabe lässt sich eigentlich „ganz leicht“ lösen.
Wir haben eine Funktion f, die bijektiv, sprich injektiv und surjektiv ist, d.h. es wird sowohl jeder Wert der Zielmenge N angenommen, außerdem kein Wert zweimal.
Nun gilt: lim a index n für n gegen unendlich = a.
Zu zeigen: lim a index f(n) für f(n) gegen unendlich = a. Schon aus der Eigenschaft von N kann man unmittelbar darauf schließen, dass f(n) keinen Limes hat (für jedes n Element N gibt es ein m > n, da f surjektiv ist, gibt es immer ein f(y) > f(x)) und somit gilt lim a index f(n) = lim a index n = a.
Viele Grüße,
Michael
P.S. man könnte dies natürlich noch genauer ausformulieren, indem man den Beweis, dass die Folge n in N keinen Grenzwert hat.
Hallo Tom,
bin etwas spaet mit meiner Antwort, sorry.
Hast Du schon mal in die Literatur geschaut ? Heuser, Repetitorium der Analysis ? Da wird doch bestimmt was in der Richtung drinstehen.
Vom Gefuehl her wuerde ich sagen, dass der Beweis ueber eine Teilfolge gehen muesste. Da f bijektiv ist, kann ja kein Wert doppelt vorkommen. Und wenn a_n konvergiert, dann fummelt man das irgendwie hin, dass jede Teilfolge auch konvergiert.
Aber inzwischen habt Ihr die Uebungsstunde dazu sowieso schon gehabt…
trotzdem viele Gruesse,
Martin