Hallo
Wir behandeln im Unterricht (Mathematik) das Thema „Zahlenfolgen.“
Meine Hausaufgaben lauten so:
"Untersuchen Sie die Folgen {Xn} und {f(Xn)} auf Konvergenz.
Leider erinnere ich mich garnicht, wie ich dieses untersuchen könnte und hoffe, dass Sie es mir erklären.
Danke im Vorraus, A.N
Man müsste mehr wissen
Was genau sind die Folgen {Xn} und {f(Xn)} ?
Da hast Du leider das Entscheidende aus der Aufgabenstellung mir vergessen, mitzuteilen: Wie lautet den die Folge xn und wie lautet die Funktionsgleichung von f ?
Wenn Du mir das mitteilst, dann bitte auch gleich, ob Lösung auf Grundkurs - oder Leistungskursniveau. Wenn Letzteres, ob mit oder ohne „Epsilontik“
"Untersuchen Sie die Folgen {Xn} und {f(Xn)} auf Konvergenz.
Leider erinnere ich mich garnicht, wie ich dieses untersuchen
könnte und hoffe, dass Sie es mir erklären.
Es gibt z. B. diverse Kriterien, die man anwende könnte: http://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzkriterium
Leider kann ich Dir nicht helfen, da ich die Aufgabe, so wie da steht, gar nicht verstehe.
Michael.
erster Tipp
http://www.giyf.com/
zweiter Tipp
http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_%28Folge%29
Grüße
Hallo, A.N.
danke für Ihre Anfrage, die konkrete Aufgabe kann ich Ihnen nicht lösen, da Sie nicht mitteilen, wie denn z.B. die Folge Xn tatsächlich aussieht.
Allgemein kann ich Ihnen sagen: es gibt zwei Möglichkeiten die Konvergenz einer Folge zu beweisen:
Gruß
JoBie
Hallo aysm41,
je nachdem welche Gestalt die Folge {Xn} hat lassen sich die verschiedenen Konvergenkriterien anwenden:
http://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzkriterium
Die dort aufgelisteten direkten Kriterien, die Vergleichtskriterien 1. Art und das Wurzelkriterium dürfte bekannt sein. Auf der Seite führen Links zu den einzelnen Kriterien.
Die Konvergenz der Folge {f(Xn)} hängt natürlich von den Eigenschaften der Funktion f ab. Zu meiner Zeit war die formelmäßige Fassung einer stetigen Funktion als eine Möglichkeit nicht Gegenstand des Schulstoffs. Vielleicht hilft da als erster Schritt eine Graphik.
MfG
G. Aust
Hallo,
ohne genauere Angaben, was denn f ist, kann ich nicht weiterhlefen.
Tut mir Leid
Frank
Es ist schwierig, auf eine so allgemeine Frage eine kurze Antwort zu geben.
Vielleicht hilft das ein wenig witer:
http://www.mathproject.de/Folgen/folgen.htm
MfG AGb
Mehr Information zu xn oder f(xn) hast Du nicht? Ich denke, ich brauche mehr Informationen zu den Zahlenfolgen, sonst kann ich Dir leider nicht weiterhelfen.
Ansonsten empfehle ich nach Zahlenfolgen und Grenzwerte zu googeln - mehr kann ich zu diesem Zeitpunkt leider nicht sagen.
Viele Grüße,
Michael
Oh, das habe ich völlig vergessen.
Die Aufgabe lautet: Untersuchen Sie die Folgen und auf Konvergenz.
Xn=1/n ; f(x)=x²
Andere Aufgaben gibt es auch noch. Ich würde mich auf eine Erklärung sehr freuen… 
Nochmal danke (:
Man müsste mehr wissen
Was genau sind die Folgen {Xn} und {f(Xn)} ?
Die Aufgabe lautet:
Untersuchen Sie die Folgen und auf Konvergenz.
Xn=1/n ; f(x)=x²
Andere Aufgaben gibt es auch noch. Ich würde mich auf eine Erklärung sehr freuen…
Danke (:
Leider kann ich Dir nicht helfen, da ich die Aufgabe, so wie
da steht, gar nicht verstehe.Michael.
Die Aufgabe lautet: Untersuchen Sie die Folgen und auf Konvergenz.
Xn=1/n ; f(x)=x²
Andere Aufgaben gibt es auch noch. Ich würde mich auf eine Erklärung sehr freuen…
Bitte Lösunf auf Grundkursniveau. Eigentlich behandeln wie Epsilontik genauso im Unterricht. Aber wenn es eine Erklärung ohne dem Epsilontik gibt, würde ich es gerne wissen (:
Nochmal danke (:
Hallo,
die Frage kann zwar ganz allgemein beantwortet werden. Zu einer genaueren Antwort fehlt aber hier ein Bildungsgesetz für xn und eine Funktionsgleichung für f(xn). Der allgemeine Nachweis läuft in der Regel über eine Epsilon-Abschätzung, bei der man aber vorher anhand des Bildungsgesetzes oder der Funktionsgleichung eine Vermutung über den Grenzwert g anstellen muss. Vielleicht könntest Du das zur Beantwortung der Frage nachliefern.
Allgemein arbeitet man in der Schulmathematik mit dem Ansatz
|xn - g| n0 die Ungleichung erfüllt ist.
Viele Grüße
funnyjonny
Hallo ?,
so jetzt hast Du mir Deine Aufgabe leidlich vollständig übermittelt.
Die erste Reihe ist die so genannte harmonische Reihe und die ist divergent, weil für jeweils 2xn Glieder die Summe grösser als 1/2 ist.
Damit eine Reihe konvergent ist, müssen die Glieder immer kleiner werden als das jeweils vorhergehende, das ist eine notwendige, offensichtlich aber keine hinreichende Bedingung.
Nach Cauchy ist die hinreichende Bedingugng für die Konvergenz, dass der Grenzwert des Quotienten zweier aufeinander folgender Glieder kleiner als 1 ist.
Wenn in der harmonischen Reihe die Vorzeichen der Glieder wechseln, dann konvergiert die Reihe also, und zwar gegen ln (2).
Probier die Bedingung einmal bei Deinem zweiten Beispiel!
Viel Erfolg wünscht
Dein Michael.
Stelle Dir auf der Zahlengeraden ein noch so klitzekleines Intervall vir, bei dem die Zahl null in der Mitte liegt, von mir aus das offene Intervall von -0,000001 bis +0,000001 . Natürlich liegen trotzdem unemdlich viele Glieder der Folge xn innerhalb dieses Intervalls, nämlich alle vom 1000001.Glied an , während nur endlich viele - nämlich nur die erste Million der Folge 1/1, 1/2, 1/3 …außerhalb des Intervalls liegt. Natürlich funktioniert dieser Gedanke sinngemäß mit noch viel kürzeren Intervallen mit der Mitte Null - eigentlich mit jedem offenen derartigen Intervall. Damit ist genau die Definition der Konvergenz von der Folge (xn)gegen die Zahl null erfüllt.
Die Folge (f(xn)) = (xn quadrat), also 1, 1/4, 1/9, 1/16 ist ja nur eine Teilfolge von (xn), d.h. alle ihre Glieder kommen auch in (xn) vor. Mach Dir jetzt klar:
Hat eine Folge (yn) einen Grenzwert, so hat jede Teilfolge von yn denselben Grenzwert.
Damit ist auch für (xn quadrat)
die Konvergenz gegen Null bewiesen.
Gruß von Max
Danke sehr, war sehr hilfreich…
Ich danke viiiiielmaals… Es war seehr hilfreich (::