Folgen - Bildungsvorschrift bilden

Wissenschaft Mathematik
1

Hallo Zusammen,
Wir haben in der Schule mit dem Thema Folgen begonnen und sollen zu einigen Zahlenfolgen die dazugehörige Bildungsvorschrift finden. Bei den meisten funktioniert das ja intuitiv, doch bei manchen komme ich einfach nicht weiter. Könnt ihr mir vielleicht ein paar Tipps geben wie man die Bildungsvorschrif von komplizierteren Folgen findet?

Ein Beispiel aus unserem Kursbuch:
Finden sie die Explizite Bildungsvorschrift zu der folgenden Zahlenfolge:

Womit beginnt man bei solch einer Aufgabe?
Danke im voraus.

Gruß Christof

2

hi,

Wir haben in der Schule mit dem Thema Folgen begonnen und
sollen zu einigen Zahlenfolgen die dazugehörige
Bildungsvorschrift finden. Bei den meisten funktioniert das ja
intuitiv, doch bei manchen komme ich einfach nicht weiter.
Könnt ihr mir vielleicht ein paar Tipps geben wie man die
Bildungsvorschrif von komplizierteren Folgen findet?

diese aufgaben sind aufgaben zur schulung der mathematischen intuition (und ihrer verschriftlichung in termen!). sie sind prinzipiell nie exakt lösbar, wenn sich auch oft eine lösung sozusagen „aufdrängt“.

Ein Beispiel aus unserem Kursbuch:
Finden sie die Explizite Bildungsvorschrift zu der folgenden
Zahlenfolge:

Womit beginnt man bei solch einer Aufgabe?

prinzipiell kannst du so eine folge mit jeder beliebigen zahl fortsetzen. du kannst jede zahl als 7. glied ansetzen und eine (polynomiale!) rechenvorschrift finden, die dann diese zahl liefert. es geht natürlich meistens darum, eine „möglichst einfache“ termdarstellung zu finden. aber was ist „möglichst einfach“? das ist oft eine geschmackssache. (es gibt keinen klaren mathematischen begriff von „möglichst einfach“.)

der gegenständliche fall ist relativ nebulos; es ist auf verschiedene art lösbar. denkbar wäre:
1.
oder
2.
oder
3.
da wird zunächst 2 mal mit 2 multipliziert, dann mit 1 multipliziert, dann durch 2 dividiert = mit 1/2 multipliziert.
d.h.
für n = 1,2 multiplizierst du mit 2
für n = 3 multiplizierst du mit 1
ab n = 4 multiplizierst du mit 1/2
bilde n-3.
das ist negativ für n = 1, 2,
das ist 0 für n=3
und positiv für n>= 3.

bilde sign(n-3) …
das ist -1 für n3.

also ein möglicher term für eine rekursive darstellung:
a(1) = 2
a(n+1) = a(n) * 2^(-sign(n-3))

aber ob das „möglichst einfach“ ist???

m.

3

Hallo Christof,

Wir haben in der Schule mit dem Thema Folgen begonnen und
sollen zu einigen Zahlenfolgen die dazugehörige
Bildungsvorschrift finden.

das ist die Art von Aufgabe, wie sie auch immer wieder hier im Rätselbrett auftaucht (gerade heute wieder) und auch gerne in sogenannten IQ-Tests, und die ich überhaupt nicht mag, weil immer eine große Unsicherheit mitspielt, was der „Erfinder“/Aufgabensteller sich wohl gedacht haben könnte und welches die in irgendeiner Weise „schönste“ Lösung ist. Das sage ich, weil es immer mehrere Lösungen gibt.

Bei den meisten funktioniert das ja
intuitiv, doch bei manchen komme ich einfach nicht weiter.

Ich glaube, mehr Hilfsmittel als die Intuition gibt es hier leider nicht.

Finden sie die Explizite Bildungsvorschrift zu der folgenden
Zahlenfolge:

Womit beginnt man bei solch einer Aufgabe?

Man fragt sich, was wohl die Pünktchen „…“ bedeuten sollen: wieder 2, 4, 8, …? Oder 1, 0.5, 0.25, …? Oder 0, 0, 0? Oder 47, 11, -3? Das ist das erste Problem …

Etwas genervt könnte man dann sagen, eine mögliche explizite Bildungsvorschrift ist:

a_n = \begin{cases}
2 & \text{falls $n = 0$ oder $n = 5$}\
4 & \text{falls $n = 1$ oder $n = 4$}\
8 & \text{falls $n = 2$ oder $n = 3$}\
n & \text{sonst}
\end{cases}

Daraufhin würde der Aufgabensteller sagen: „Aber das steht ja schon da; so habe ich das nicht gemeint. Ich möchte eine ‚schöne‘ Formel“.

Dann könnte man weiter im Nebel herumstochern und sagen: Ok, das sind alles 2er-Potenzen, machen wir mal den Ansatz

a_n = 2^{b_n}

Also brauchen wir eine Berechnungsvorschrift für die Folge b: 1, 2, 3, 3, 2, 1, … Im Graph einmal gerade hoch, dann ein Knick und wieder gerade runter. Da würde die Intuition jetzt sagen: Probieren wie mal eine Variante der Betragsfunktion:

b_n = 3.5 - |2.5 - n|

und setzen das ganze ein:

a_n = 2^{3.5 - |2.5 - n|}

Aber ist das jetzt schöner?

Du siehst, Intuition ist alles: Versuche, Zusammenhänge/Muster in der Folge zu finden und die Folge auf andere Folgen abzubilden, die du schon kennst. Vielleicht hast du dabei Glück und findest eine besonders elegante Lösung. :smile:

Andreas

4

Vielen Dank für eure schnellen und präzisen Antworten, dass hilft mir definitiv weiter.

Gruß Christof