Hallo zusammen,
ich habe ein Problem mit folgender Folge:
a(n) = ( n^3 + 6 * n^2)^(1/3) - n
Wie kann ich hier beweisen, dass die Folge a(n) konvergiert und als Grenzwert 2 hat?
Ich schaffe es einfach nicht, die richtige Umformung zu finden…
Bin über jede Hilfe sehr dankbar!
Viele Grüße,
Oliver Pauser
Kubisch ‚ergänzen‘!
Hallo, Oliver!
Diue 6 hätte dir auffallen müssen, und du mußt die binomische Auflösung von (x+a)^3 natürlich kennen!
Also:
lim{(n^3 + 6 * n^2)^(1/3) - n} =
lim{(n^3 + 6 * n^2+ 12*n + 8 - 12*n - 8)^(1/3) - n}=
lim{(n+2)^3*(1 -[12*n + 8]/[(n+2)^3])^(1/3)-n} geht gegen
lim{(n+2)^3)^(1/3)-n} =
lim{n+2-n} = lim{2} = 2 !!!
Herzliche Grüße und kubische köpfe hoch!!!
moin, manni
P.S.: andererseitsa auch:
lim{(n^3 + 6 * n^2)^(1/3) - n} = lim{(n^3*[1+6/n])^(1/3) - n} =
= lim{n*[1+6/n]^1/3) - n}, nur diesewr Weg sieht voin vornherein komplizierter aus wegen der Brüche, also! S.O.!!
Hallo und Vielen Herzlichen Dank!
Da ich von der „kubischen“ Ergänzung bisher noch nichts gehört habe, war mir diese Art von Lösung unbekannt.
Und sowie wie du es bei dem „P.S.“ geschrieben hast, bin ich auch gekommen, aber dann wusste ich nicht mehr weiter!
Nochmals, Vielen Dank!