heiii,
wie soll ich hier vorgehen ?
Ein Gummiball fällt aus einem Meter Höhe senkrecht nach unten und von dem er wieder senkrecht in die Luft abspringt, bevor er wieder zu Boden fällt. Bei jedem dieser Sprünge fliegt er genau ein Drittel so hoch, wie im vorherigen Sprung. Wie lange ist der Weg, den der Gummiball dabei zurücklegt, vorausgesetzt, er kann unendlich lange hüpfen?
Jemand eine Idee ?
LG Vanessa
Hallo,
zum Folgeglied a_n suchst Du den Nachfolger a_{n+1}, gemäß Vorschrift etwa:
a_{n+1} = 1/3 a_n
Und nun errechnet sich der Weg bis zum n-ten Hüpfer als Summer über die Folgeglieder a_1 bis a_n, der gesamt Weg also als Grenzwert dieser Reihe.
Ergänzend: da Folgeglied und Nachfolger stets in gleichem Verhältnis (nämlich 1/3) zueinander stehen, haben wir hier eine geometrische Reihe. Bei geometrischen Reihen gilt: wenn das Verhältnis (der Quotient) > 1 ist, haben wir eine divergierende geometrische Reihe. Wenn der Quotient, wie hier, < 1 ist, eine konvergierende. Das heisst, es gibt einen Grenzwert, auf den die Addition der unendlich vielen Glieder dieser Summe hinläuft. Genau dieser Grenzwert ist die zurückgelegte Gesamtstrecke des Balles.
Für die Berechnung des Grenzwertes einer geometrischen Reihe mit Quotient < 1 gibt es eine Formel, die man problemlos im Internet finden kann. Sehr schön erläutert an einem Beispiel mit Quotient 1/2 findet man das z.B. hier:
Freundliche Grüße,
Ralf
DANKESEHRRRR!!! Sehr Hilfreich.
Vielen Dank !!!
Hi,
es wäre willkommen zu wissen, ob du die Antwort zu &rarrM dieser anderen Frage zur Kenntnis genommen hast.
Gruß
Metapher
Ja vielen Dank durch das Video hat man es noch besser verstanden. (Mathe Studium)