Soweit ich das mitbekommen habe folgt nur aus Differenzierbarkeit die Stetigkeit, aber nicht die Umkehrung, da es Funktionen gibt, die stetig sind, aber nirgends differenzierbar sind.
Kann mir jemand ein Beispiel für eine solche Funktion geben? Ich kann mir das nicht so richtig vorstellen…
Danke, Mone.
HAllo,
wie wärs denn mit
f(x)=|x|
die ist überall stetig aber bei x=0 nicht differenzierbar.
Gruß Oliver
die ist überall stetig aber bei x=0 nicht differenzierbar.
An diese Funktion habe ich auch schon gedacht, doch dort steht ja „nirgends differenzierbar“. Die Betragsfunktion kann ich ja z.B. auf [-5,-2] differenzieren. Oder soll das „nirgends“ heißen, daß die Funktion als ganzes nicht differenzierbar ist, doch auf einem Teilintervall schon?!
Mone.
Oder soll das „nirgends“
heißen, daß die Funktion als ganzes nicht differenzierbar ist,
doch auf einem Teilintervall schon?!
Die Funktion muß nicht „nirgends“ differenzierbar sein, es reicht ja, daß es eine einzige Stelle gibt an der die Funktion nicht differneziebar ist, um zu zeigen, daß die Umkehrung des Satzes nicht zurifft.
Oliver
Die Funktion muß nicht „nirgends“ differenzierbar sein, es
reicht ja, daß es eine einzige Stelle gibt an der die Funktion
nicht differneziebar ist, um zu zeigen, daß die Umkehrung des
Satzes nicht zurifft.
Verstehe… Dankeschön!
von Koch-Kurve
Ein Beispiel ist die sog. von Koch-Kurve. Sie wird wie folgt konstruiert:
E0 sei eine Strecke der Länge 1.
Die Menge E1 besteht aus den vier Teilstücken, die man erhält, wenn man das mittlere Drittel von E0 entfernt und es durch zwei Seiten des gleichseitigen Dreiecks ersetzt, dessen Grundlinie gerade durch das weggenommene Teilstück gebildet wird.
E2 wird gebildet, indem man dasselbe Verfahren auf jedes Teilstück von E1 anwendet, usw.
Man erhält eine Folge polygonaler Kurven, die gegen eine Grenzkurve konvergiert.
Diese Grenzkurve ist stetig und nirgends differenzierbar.
Gruß.
Cicero
Soweit ich das mitbekommen habe folgt nur aus
Differenzierbarkeit die Stetigkeit, aber nicht die Umkehrung,
da es Funktionen gibt, die stetig sind, aber nirgends
differenzierbar sind.
Jau. Die sind aber nicht so ganz einfach zu konstruieren.
Das folgende Beispiel stammt von Weierstrass aus dem Jahre 187x.
f(x) = cos(x) + cos(3x)/2 + cos(9x)/4 + cos(27x)/8 + …
Die ist überall stetig und nirgends differenzierbar.
Diese Grenzkurve ist stetig und nirgends differenzierbar.
und leider auch kein Graph, sondern eine 2D-Kurve (besser Pfad, da keine Bogenl"ange). Man kann das aber retten, indem man die Dreiecke „senkrecht“ stellt. D.h. der neue Punkt kommt "uber der Intervallmitte zu liegen (bezogen auf die x-Koordinate)
Ciao Lutz
Man kann das aber retten, indem
man die Dreiecke „senkrecht“ stellt. D.h. der neue Punkt kommt
über der Intervallmitte zu liegen (bezogen auf die
x-Koordinate)
Kannst Du mir das genauer erläutern?
Gruß.
Cicero
Das Problem mit der Kochkurve ist, dass nach der 4 Iteration ein "Uberhang auftritt, wegen 4x60Grad. Das kann vermieden werden, indem die Dreiecke „senkrecht“ aufgetragen werden. Einfach zur Streckenmitte (Strecke=Mitte der Seite) gehen, die entsprechende H"ohe senkrecht hoch und die neuen Seiten zu den Streckenenden zeichnen. Sieht krumm und schief aus, aber erf"ullt den Zweck.
Ciao Lutz
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Vielen Dank. Das leuchtet ein.
Übrigens hat nicht nur die Kochkurve, sondern vermutlich
auch das Beispiel von Weierstrass (siehe den Beitrag von Haeberlin) eine Hausdorffdimension größer als 1 (genau weiß man das aber nicht).
Es bleibt also noch etwas zu tun!
Gruß.
Cicero
Präzisierung der Konstruktion
Das Problem mit der Kochkurve ist, dass nach der 4 Iteration
ein Überhang auftritt, wegen 4x60Grad.
Präzisierung: Die Dreiecke sind in die Richtung abzutragen, in der es keinen Überhang gibt, d.h., nach spätestens drei Iterationen ist die Richtung zu ändern.
Gruß.
Cicero
f stetig + nirgends differenzierbar
Ein sehr anschauliches Beispiel findet man unter