Formel für sich drehendes Quadrat

Wissenschaft Mathematik
#1

Ich habe ein Problem dabei eine Formel aufzustellen.
Da ich nicht weis wie ich das Probelm formulieren soll, deshalb habe ich ein Bild erstellt.
Gegeben sind:
a und x
a = Seitenlänge des Quadrats
x = Drehung des Quadrats in Grad
und
rk = Radius vom Kreis als hier a / 2

Ich suche jetzt eine Formel mit der ich rd ausrechnen kann.

Was mir noch aufgefallen ist, ist dass wenn der Winkel x = 45, 135, 315 Grad groß ist, dann ist rd am größten. (a^2+a^2)^0,5

http://img234.imagevenue.com/img.php?image=36726_rd_…

Danke schonmal für eure Hilfe.

#2

Vielleicht hab ich’s nicht richtig verstanden, aber suchst Du den Umkreis des Quadrats? Das wäre der blaue Kreis unten in der Skizze. Auf diesem Kreis würden sich die Ecken des Quadrats bewegen, wenn das Quadrat um seinen Mittelpunkt gedreht wird. Dabei ist der Drehwinkel egal: der Umkreis hat immer den selben Durchmesser wie die Diagonale des Quadrats (also rd = Wurzel(2a²)).

LG
Jochen

#3

Moin,

wenn ich das ricchtig interpretiere, kannst du dir den Kreis sparen.

Nimm das Quadrat und laß die Diagonale rotieren. Dann ist die gedrehte Diagonale mit der seitenlänge verbunden gemäß

rd = a/(2*cos x)

x braucht dabei nur von 0 bis 45 Grad zu wandern aufgrund der Symmetrie.

Gruß

Kubi

#4

Auf diesem Kreis würden sich die Ecken des
Quadrats bewegen, wenn das Quadrat um seinen Mittelpunkt
gedreht wird.

Nein, der blaue Kreis ändert ja seine Größe je nachdem wie ich das Quadrat drehe. Der blaue Kreis in der oberen Skizze ist der selbe wie in der unteren, nur das dieser durch die Drehung „gewachsen“ ist. Die Ecken der sich drehenden Quadrates „laufen“ beim drehen auf dem gelben Quadrat, welches je nachdem wie weit ich das schwarze Quadrat drehe seine Größe verändert. Der Kreis hat als Durchmesser die Seitenlänge des gelben Quadrates, gleichzeitig aber den selben Mittelpunkt wie das sich drehende Quadrat.

Gruß kruemel

#5

rd = a/(2*cos x)

Ist das ganz rd oder nur der Teil der in dem sich drehenden Quadrat befindet?

Gruß kruemel

#6

…es ist schwer zu verstehen, wonach du genau suchst. Ist es wie folgt?

Du hast ein Quadrat mit Seitenlänge a gegeben. In dieses Quadrat beschreibst du ein weiteres Quadrat (mit Seitenlänge b

#7

Ah… ich glaube, ich habe es genau falschherum verstanden. Wahrscheinlich meinst du es so:

Das INNERE Quadrat hat die feste Seitenlänge a. Das innere Quadrat wird nun um den Winkel x gekippt und mit einem ungekippten aufrechten (also koordinatenachenparallelen) umschrieben. Das äußere hat die Seitenlänge b. Gesucht ist der Radius des Inkreises des äußeren Quadrats = 1/2 b.

Der Rest von meinem letzten Posting gilt dann mehr oder weniger weiter, nur mit vertauschten a und b: teile Strecke b an Berührpunkt, finde x in den beiden anliegenden Dreiecken (zwischen den Quadraten) und verwende Definition Sinus/Cosinus, um b = sin(x) a + cos(x) a bzw. a = b / (sin(a) + cos(a)) zu erhalten.

Viele Grüße,
Sebastian

#8

Wie lautet den dann die Formel?
b = …?

Gruß kruemel

#9

Wie lautet den dann die Formel?
b = …?

b = a * (sin(x) + cos(x)) zwischen 0 und 90 Grad (ab da ist es ja symmetrisch).

z.B. für 45 Grad: b = a * (1/2 Wurzel(2) + 1/2 Wurzel(2)) = Wurzel(2)*a
Also genau dein „(a^2+a^2)^0,5“.

Viele Grüße,
Sebastian

#10

rd = a/(2*cos x)

Ist das ganz rd oder nur der Teil der in dem sich drehenden
Quadrat befindet?

Das ist der Teil in dem Quadrat.

Gruß

Kubi

#11

also meiner meinung nach ist die lösung: rd=a*(cos(x)+sin(x))/2
Vorgehensweise:

Siehe neue Grafik: http://img210.imagevenue.com/img.php?image=40968_wer…

Das schwarze Dreieck zerteilt das gelbe in die vier identischen nur jeweils um 90° gekippten Dreiecke D1,D2,D3,D4 der kleinste Winkel dieser Dreiecke beträgt ebenfalls X (Beweis über rechtwinklige Hilfsdreiecke…).

Die Hypotenuse dieser identischen D Dreiecke beträgt a.

rd ist die halbe Seitenlänge des gelben Quadrats.

Die ganze Seitenlänge des gelben Dreiecks beträgt s1 + s2 der D-Dreiecke

es gilt im rechtwinkligen D-Dreieck:
1.)s1=cos(x)*a
2.)s2=sin(x)*a
=>s1+s2=a*(sin(x)+cos(x))=Seitenlänge des gelben Quadrats

=>rd=(s1+s2)/2 =a *(sin(x)+cos(x))/2