Hallo,
sagen wir mal ganz allgemein, der Startwert ist W. In der Zeitreihe ist dann W1 der erste Wert, W2 der zweite und allgemein Wn der d-te Wert (n ist eine ganze Zahl größer 0). In deinem Beispiel ist W1 = 4400.
Jeden Zeitschritt wird ein Anteil r des Wertes A vom aktuellen Wert abgezogen. In deinem Beispiel ist der Anteil r = 0,8 und der „Abzugswert“ A = 700.
Fangen wir an, die ersten Schritte der Entwicklung mal symbolisch hinzuschreiben, angefangen mit W1:
W1 = W
W2 = W1 - A*r = W - A*r
W3 = W2 - A*r² = (W - A*r) - A*r²
W4 = W3 - A*r³ = ((W - A*r) - A*r²) - A*r³
…
Dabei habe ich immer die „Lösung“ aus der jeweils vorigen Gleichung eingesetzt. Sehen wir uns die letzte Gleichung mal an:
W4 = ((W - A*r) - A*r²) - A*r³
Die Klammern kann man weglassen (weil alles Summen bzw. Differenzen sind):
W4 = W - A*r - A*r² - A*r³
Den Faktor A kann man ausklammern:
W4 = W - A*(r - r² - r³)
Jetzt ist sonnenklar, wie man das einfach für jeden beliebigen Zeitschritt aufschreiben kann. Bei Schritt 2 ist es
W2 = W - A*®
Bei Schritt 3 ist es
W3 = W - A*(r - r²)
Bei Schritt n ist es
Wn = W - A*(r - r² - r³ - … - r(n-1))
Die Summe in der Klammer ist eine sog. geometrische Reihe. Siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe. Dafür gibt es eine einfache Lösung, die auch auf der Wiki-Seite steht. Man muss beachten, dass die Reihe dort mit 1 und nicht mit r („q“ in Wiki) anfängt, also muss am Ende 1 abgezogen werden. Dann brauchen wir für den n-ten Schritt die Summe bis (n-1) und nicht bis n (siehe Formel oben!).
Der Ausdruck in der Klammer läßt sich also so schreiben:
(1-rn)/(1-r) - 1
Setzen wir das ein:
Wn = W - A*( (1-rn)/(1-r) - 1 )
Eigentlich ist es das schon. Damit kannst Du direkt den Wert nach jedem beliebigen Zeitschritt ausrechenen. An deinem Beispiel:
W = 4400
A = 700
r = 0.8
n = 5
W5 = 4400 - 700*( (1-0.85)/(1-0.8) - 1 ) = 2746.88
Übrigens kann man konvergiert die Reihe, wenn r oo = W - A*( 1/(1-r) - 1 )
in Deinem Beispiel ergibt sich ein Endwert von
Woo = 4400 - 700*( 1/(1-0.8) - 1 ) = 1600
D.h., nach unendlich vielen Schritten erreicht der Wert 1600 bzw. egal, wie viele Schritte du machst: er wird sich 1600 annähern aber nie darunter fallen.
LG
Jochen