jeder kennt ein Ei. Eine Möglichkeit dieses Ei zu konstruieren ist, drei Kreis zu zeichnen, wobei ein großer Kreis um zwei kleinere Kreise gezogen wird. Die Lage und die Radien der beiden kleineren Kreise sind bekannt. Nur leider nicht die Lage noch der Radius des größsten Kreises.
Vorallem interessiert mich die Herleitung der Formel.
Vermutlich habe ich es mal wieder zu umständlich erklärt, deshalb gibt es hier eine Skizze:
Ich weiß, dass der Radius und der Mittelpunkt abhängig von der Größe beider Kreise und den Abstand zueinander ist. Allerdings ist das Vorwissen in Geometrie qausi Null.
die Abhängigkeiten sind:
r1+S=r2+E gleich R
E=sqr(a^2+S^2)- oben einsetzen.
Damit bleibt nur eine Unbekannte welche sich mathematisch errechnen
läßt.
Kommt auf eine quadratische Gleichung raus.
Tip:
den Wurzelausdruck auf eine Seite bringen und dann beide Seiten
quadrieren.
ich muss über Euch beide jetzt einmal in der 3. Person sprechen, da mir das sonst zu kompliziert wird. Also:
In der Skizze der Unentrinnbaren sind die Strecken S und E jeweils die Strecken vom Mittelpunkt des großen Kreises bis zum Berührpunkt der Kreise. In der Anleitung Viktors hingegen sind S und E nur die Strecken zwischen den Kreismittelpunkten.
Nun kann die Unentrinnbare ja weiter mit ihren S und E rechnen, dann muss nur der Satz des Pythagoras von Samos für das rechtwinklige Dreieck aus den drei Kreismittelpunkten anders aussehen. Eventuell ist das sogar einfacher.
Man hat nämlich a²+(S-r1)²=(E-r2)², weiß aber auch, dass S und E beide so lang wie der Radius des großen Kreises (nennen wir ihn R) sind. Das kann man sofort in den Pythagoras einsetzen, ausmultiplizieren, zusammenfassen und nach R auflösen. Fertig.
In der Skizze der Unentrinnbaren sind die Strecken S und E
jeweils die Strecken vom Mittelpunkt des großen Kreises bis
zum Berührpunkt der Kreise. In der Anleitung Viktors hingegen
sind S und E nur die Strecken zwischen den Kreismittelpunkten.
ich denke dies siehst Du nicht richtig.
Es macht keinen Sinn S=E=R hier als verschiedene Größen einzubringen -
was auch nicht so gedacht sein kann wenn alle gleich sind.
Man hat nämlich a²+(S-r1)²=(E-r2)²,
Also statt S oder E einfach R setzen ! Wird kaum einfacher.
Das kann man sofort in
den Pythagoras einsetzen, ausmultiplizieren, zusammenfassen
und nach R auflösen.
Dann mach man, ohne quadratische Gleichung.
Gruß VIKTOR
ich werde morgen in Ruhe beides ausprobieren und meine „Ergüsse“ dann posten.
wie in den vorangehenden Postings schon erklärt wurde bilden die Mittelpunkte der drei Kreise ein rechtwinkliges Dreieck (rechter Winkel im Ursprung). Für dieses Dreieck lässt sich der Satz des Pythagoras auch ohne Verwendung von S und E formulieren:
(R - r_1)^2 + a^2 = (R - r_2)^2
Diese Gleichung ist problemlos nach R auflösbar. Ergebnis:
R = \frac{r_2^2 - r_1^2 - a^2}{2 (r_2 - r_1)}
So groß muss der Radius des gesuchten Kreises sein, und sein Mittelpunkt muss bei (0 | r1 – R) liegen, damit es passt. That’s all.
Es macht keinen Sinn S=E=R hier als verschiedene Größen
einzubringen
Das ist richtig, hat ja auch Martin schon angemerkt, dass man auch ohne S und E auskommt.
was auch nicht so gedacht sein kann wenn alle gleich sind.
Denken kann man sich (fast) alles. Ich sehe in der Skizze (gerade durch die farbliche Hervorhebung), dass S und E jeweils die Länge R haben. S und E bezeichnen hier zunächst die Strecken, werden dann aber auch als deren Länge benutzt.
und nach R auflösen.
Dann mach man, ohne quadratische Gleichung.
„Ohne quadratische Gleichung“ natürlich nicht, die Gleichung ist nun einmal quadratisch. Ohne Lösungsformel mach ich’s gern, mittels quadratischer Ergänzung.
Aber das meine ich gar nicht mit „einfacher“: Bei Dir steht ein Gleichungssystem, zu dessen Lösung man erst eine Gleichung umstellen muss, die dann in die andere eingesetzt wird. Bei mir steht von Anbeginn nur eine Gleichung. Ist das nicht einfacher?
Eine Möglichkeit, dieses Ei zu konstruieren, ist, drei Kreise zu zeichnen, wobei ein großer Kreis um zwei kleinere Kreise gezogen wird. Die Lage und die Radien der beiden kleineren Kreise sind bekannt.
Hallo Unentrinnbare!
Wenn ich jetzt tatsächlich so ein Ei konstruieren möchte, wie muss ich denn dann die Lage und die Radien der kleinen Kreise wählen? Ich kann sie ja sicher nicht beliebig zeichnen, wenn’s am Ende wie ein Ei aussehen soll.
Es macht keinen Sinn S=E=R hier als verschiedene Größen
einzubringen
eigentlich ist es Unsinn zu streiten was „einfacher“ ist - aber
da wir schon einmal dabei sind.
Es ist übersichtlicher die Seiten des maßgebenden Dreiecks zu
bezeichnen (S, a, E) als sie mit einem Ausdruck zu belegen.
Dies war wohl so gedacht (egal was da farbig gekennzeichnet wurde)
denn - wie schon gesagt - wäre es unsinnig eine Größe ® mit drei
verschiedenen Namen zu benennen.(s.oben)
Wenn Du Deine Gleichung ausmultiplizierst hast Du erst einmal einen
größeren Aufwand , mehr Glieder (bei mir muß r1-r2 als dr bezeichnet
werden) zu bearbeiten.
Die Quadrate der Unbekannten (S oder R)kürzen sich übrigens bei
beiden Lösungen raus.
Bei
mir steht von Anbeginn nur eine Gleichung. Ist das nicht
einfacher?
Dafür steht bei Dir auch noch am Ende die Ermittlung von S , die
Lage des Mittelpunktes des Großkreises, welcher auch erfragt wurde
und bei meiner Gleichung explizit als Ziel der Berechnung gleich als
Unbekannte eingebracht wird.
Ist egal, beides führt zum Ziel.
Es ist nur interessant, daß man manchmal meint etwas sei einfacher
und es ist doch nicht so.
Wichtig ist bei der Beantwortung solcher Fragen nach meiner Ansicht,
daß man den (für den Fragesteller ! darauf kommt es an)
übersichtlicheren Weg zeigt und da sind eindeutige Bezeichnungen der
geometrischen Grundelemente (hier Dreieck-Seiten) besser als komplexe
Benennungen (also S statt R-r1) auch wenn(scheinbar)ein Rechenschritt
eingespart wird.
