Hallo,
wie kommt man auf die Formel s = 1/2*a*t²
Wenn ich die Formeln (a) v = s/t mit (b) v = a*t gleichsetze, erhalte ich s = at² , diese Formel gibt es aber nicht. Woher kommt also das 1/2 in der oben genannten Formel?
Vielen Dank im Voraus!
Jeanette
Hallo Jeanette,
nur wenn v nicht von der Zeit abhängt (konstant ist), kann man den in der Zeit t zurückgelegten Weg mit
s = v*t
berechnen. Wenn jedoch v von t abhängt, muss man integrieren, also
s = Integral(von 0 bis t)[a*j dj], j=Integrationsvariable.
Das ergibt
s = (1/2)*a*t²
Bitte im Nachhinein
Ph33
Moin,
Wenn ich die Formeln (a) v = s/t mit (b) v = a*t gleichsetze,
Gegenfrage: für welche Werte für die Beschleunigung gilt o.g. Gleichung a und für welche Werte gilt b?
VG
J~
Hallo Janette,
Wenn ich die Formeln (a) v = s/t mit (b) v = a*t gleichsetze,
das kann man nicht.
Dies sind zwei „Aussagen“ mit zwei verschieden definierten Parametern nicht zwei
Gleichungen mit zwei Unbekannten.(Lösung durch Gleichsetzungsverfahren)
Ansonsten wurde dir ja schon geantwortet.
Gruß Viktor
Hallo Jeanette,
Wenn ich die Formeln (a) v = s/t mit (b) v = a*t gleichsetze,
…dann kommt Nonsens heraus, weil die Variable v in der Formel (a) eine andere Bedeutung hat als die Variable v in der Formel (b).
Der betrachtete Vorgang ist die gleichmäßige (d. h. konstante) Beschleunigung eines Körpers aus der Ruhe auf eine bestimmte Geschwindigkeit, die man auch „Endgeschwindigkeit“ nennt. Diese Endgeschwindigkeit ist das v in der Formel (b). Das v in der Formel (a) bezeichnet dagegen nicht die Endgeschwindigkeit, sondern die mittlere Geschwindigkeit während des Beschleunigungsvorgangs (gemittelt über die komplette Dauer). Bei einer konstanten Beschleunigung ist diese mittlere Geschwindigkeit gerade halb so groß wie die Endgeschwindigkeit v. Ein Zahlenbeispiel: Wenn Du mit dem Auto gleichmäßig von Null auf 86 km/h beschleunigst, hast Du in einer bestimmten Zeit eine bestimmte Strecke zurückgelegt. Frage: Mit welcher Geschwindigkeit muss jemand diese Strecke durchfahren, wenn er dabei nicht beschleunigt, sondern mit konstanter Geschwindigkeit fährt, und dabei dieselbe Zeit wie Du benötigen will? Genau dies ist die Definition der mittleren Geschwindigkeit. In dem Beispiel hier beträgt sie 43 km/h (= die Hälfte von 86 km/h).
So wird die Rechnung also richtig:
(1):: v = a t
\quad\quad\quad
\textnormal{(}v = \textnormal{Endgeschwindigkeit)}
(2):: \bar{v} = \frac{s}{t}
\quad\quad\quad
\textnormal{(}\bar{v} = \textnormal{mittlere Geschwindigkeit)}
(3):: \bar{v} = \frac{1}{2} v
Daraus ergibt sich – wie Du selbst nachrechnen solltest – die korrekte Formel
s = \frac{1}{2} a t^2
Gruß
Martin
Hallo Martin
… weil die Variable v in der Formel (a) eine andere Bedeutung hat als die Variable v
in der Formel (b).
diese Aussage ist erklärungsbedürftig (deine Einlassung tut das nicht) bzw. falsch.
v ist hier immer ein momentaner Bewegungszustand - genau definiert auch in der
„Dimension“, m/s. Das v mit zeitlichen „Momenten“ bei Formel a) über die ganze Strecke s
konstant präsent ist steht dem nicht entgegen.
Noch ein „kleiner“ Hinweis:
Je umfangreicher einem Fragesteller mit „trivialen“ Fragen eine Antwort präsentiert wird,
desto weniger versteht er - i.R
Hier wollte die UP doch nur von ihrer „Irritation“ befreit werden.
Gruß Viktor
Hallo Antworter,
was eigentlich war an meiner Antwort unverständlich oder falsch?
Jeanette, äußere Dich doch mal dazu!
Gruß von Ph33
Hallo,
Hallo Antworter,
was eigentlich war an meiner Antwort unverständlich oder
falsch?
heul nicht, wo wurdest du kritisiert ?
Jeanette, äußere Dich doch
Aber aber, sie ist doch die „Unwissende“ nicht die, welche Antworten ob ihrer
Richtigkeit zu bewerten hat.
Gruß Viktor
Hallo VIKTOR,
heul nicht, wo wurdest du kritisiert ?
dieses Denkschema „Kritik --> heulen“ ist mir völlig fremd.
Jeanette, äußere Dich doch
Aber aber, sie ist doch die „Unwissende“ nicht die, welche
Antworten ob ihrer
Richtigkeit zu bewerten hat.
Darum ging es mir doch gar nicht. Ich dachte mir, dass die „Unwissende“ am besten
beurteilen kann, welche Antworten ihr beim Verstehen des Sachverhaltes geholfen
haben.
Gruß Viktor
Grüße von Ph33
Hallo,
Aber aber, sie ist doch die „Unwissende“ nicht die, welche
Antworten ob ihrer
Richtigkeit zu bewerten hat.Darum ging es mir doch gar nicht. Ich dachte mir, dass die
„Unwissende“ am besten
beurteilen kann, welche Antworten ihr beim Verstehen des
Sachverhaltes geholfen
haben.
Mag sein, aber „Feedback“ gibt es hier selten.
Wir wissen doch, daß ich auf ihre Irritation eingegangen bin und du sehr richtig
auf die Frage zur Titelformel.Erwarte nicht „Würdigung“ deiner Antwort. Manchmal gibt es
hier Sternchen, halt anonym.
Gruß Viktor
Hallo Ph33,
Wenn jedoch v von t abhängt, muss man integrieren,
der Fall einer zeitlich linear zu- oder abnehmenden Geschwindigkeit ist noch einfach genug, um auch eine Lösung ohne Integration zuzulassen.
In seiner allgemeinsten Form lautet das Problem: Ein Körper hat zum Zeitpunkt t0 die Position s0 und die Geschwindigkeit v0. Er bewegt sich danach mit der Beschleunigung a konstant beschleunigt weiter. Welche Position s und Geschwindigkeit v hat er dann zum Zeitpunkt t?
Ein möglicher rein algebraischer (d. h. keine Integrale enthaltender) Ansatz wäre etwa dieser:
(1):: \bar{v} = \frac{\Delta s}{\Delta t}
\quad\quad\quad
\textnormal{(} \bar{v} = \textnormal{mittlere Geschw.keit im} :\Delta t\textnormal{-Zeitintervall})
(2):: a = \frac{\Delta v}{\Delta t}
(3):: \bar{v} = \frac{1}{2} \big(v_0 + v\big)
(4):: \Delta v = v - v_0
(5):: \Delta s = s - s_0
Das ist ein Gleichungssystem mit fünf Gleichungen für die fünf Unbekannten Δv, Δs, v, s und \bar{v}. Da es in seinen Unbekannten sogar linear ist, liegt ein lineares Gleichungssystem (LGS) vor.
Wie Du selbst nachrechnen kannst, ergibt sich mit der Zusatzgleichung \Delta{t} = t - t_0 als korrekte Lösung
v = a (t - t_0) + v_0
s = \frac{1}{2} a (t - t_0)^2 + v_0 (t - t_0) + s_0
die für den Sonderfall t0 = 0 übergeht in
v = a t + v_0
s = \frac{1}{2} a t^2 + v_0 t + s_0
woraus als Sonderfall vom Sonderfall für s0 = 0 und v0 = 0 die wohlbekannten Gleichungen
v = a t
s = \frac{1}{2} a t^2
resultieren.
Gruß
Martin
Manchmal gibt es hier Sternchen, halt anonym.
Gut, dass es Leute gibt, die so etwas erkennen. Dafür hast Du ein Sternchen von mir bekommen 
Guten Rutsch!
Martin
Moderator im Brett Physik