Formel umstellen?

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo liebe Mitglieder,

eine weitere Frage:

Ich moechte folgende Formel umstellen:

C = A + (B1/x^1) + (B2/x^2) + (B3/x^3)

wobei x fuer den Kalkulationszinssatz steht.
Es ist der Wert des Kalkulationszinssatzes gesucht, bei dem der Kapitalwert gerade den Wert Null erreicht.

Ich wuerde folgendermassen vorgehen:

  • C = A + (B1/x^1) + (B2/x^2) + (B3/x^3)
  • x^1*x^2*x^3 = A+B1+B2+B3
  • danach wuerde ich die Exponenten zusammenfassen
  • x^6 = (A+B1+B2+B3)
  • x = 6Wurzel(A+B1+B2+B3)

Ist mein Loesungsweg korrekt bzw. kann mir jemand sagen, was ich falsch machen?

Vielen Dank!

Viele Gruesse
Michael

#2

Moin Michael,

  • C = A + (B1/x^1) + (B2/x^2) + (B3/x^3)

Wenn Du mit x^3 auf beiden Seiten multiplizierst, kommst Du auf:

-C*x^3 = A*x^3 + B1*x^2 + B2*x^1 + B3

Vlt. kommst Du jetzt weiter.

Gruß Volker

#3

Hallo Michael,

C = A + (B1/x^1) + (B2/x^2) + (B3/x^3)

wobei x fuer den Kalkulationszinssatz steht.
Es ist der Wert des Kalkulationszinssatzes gesucht, bei dem
der Kapitalwert gerade den Wert Null erreicht.

Welche der Buchstaben ist denn der Kapitalwert? C (nehme ich mal an, weil das in deiner folgenden Rechnung nicht mehr aftaucht)?

D.h. du willst
0 = A+ \frac{B_{1}}{x}+ \frac{B_{2}}{x^{2}}+ \frac{B_{3}}{x^{3}}
nach x auflösen?

Ich wuerde folgendermassen vorgehen:

  • C = A + (B1/x^1) + (B2/x^2) + (B3/x^3)

Ist das am Anfang ein Spiegelstrich oder ein Minus? Ich tippe mal auf ersteres :smile:

  • x^1*x^2*x^3 = A+B1+B2+B3

Was hast du hier gemacht? Dein C, soll das 0 sein (oder 1)? Wenn du eine Gleichung hast, dann musst du auf beiden Seiten die gleiche Multiplikationen durchführen, d.h. du könntest z.B. so rechnen:
0 = A+ \frac{B_{1}}{x}+ \frac{B_{2}}{x^{2}}+ \frac{B_{3}}{x^{3}}
auf beiden Seiten mal x³:

0 = Ax^{3}+ B_{1}x^{2}+ B_{2}x + B_{3}

Und dann kann man auch mit einer allgemeinen Berechnung nicht mehr viel machen. Du hast hier eine kubische Gleichung (http://de.wikipedia.org/wiki/Kubische_Gleichung). Es gibt zwar eine allgemeine Lösungsformel dafür, aber die ist relativ kompliziert:
http://www.mathematik.ch/anwendungenmath/Cardano/For…

Wenn A und die B bekannt sind, dann könnte man eine Polynomdivision versuchen. Das wird aber nicht in allen Fällen funktionieren. Dann kämen meines Wissens nach nur noch numerische und graphische Lösungen in Frage.

Falls es dir rein um eine Lösung mir Zahlenwert und nicht auf einen analytischen Rechenweg ankommt, kannst du z.B. das hier verwenden: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm

Viele Grüße
Kati

#4

Hallo Kati,

nein, es ist folgendermassen:

C = A + (B1/x^1) + (B2/x^2) +(B3/x^3)

wobei

  • C der Kapitalwert ist
  • = das ‚Ist-gleich-Zeichen‘
  • x der Kalkulationszinssatz, der gesucht ist, bei dem der Kapitalwert Null ist.
    Ich setze als C = 0
  • dann darf ich umformen:
    Ich multipliziere die x-Terme auf die andere Seite und erhalte
    x^1+x^2+x^3 = A+B1+B2+B3
  • Nach meinem Kenntnisstand kann ich die Exponenten addieren; ich erhalte demnach:
  • x = 10Wurzel(A+B1+B2+B3)

konkretes Beispiel:

A = 100000
B1= 50000; B2=80000; B3=50000

Wie kann ich jetzt die Formel zu umstellen, damit ich den kritischen Wert(hier x fuer den Kalkulationszinssatz) fuer den Kapitalwert erhalte?

Vielen Dank im Vorfeld noch einmal fuer deine Rueckmeldung.

Viele Gruesse
Michael

#5

Moin,

Ich setze als C = 0

  • dann darf ich umformen:
    Ich multipliziere die x-Terme auf die andere Seite und erhalte
    x^1+x^2+x^3 = A+B1+B2+B3

Falsch, da Du C = 0 gesetzt hast, steht auf der linken Seite schlicht 0!

Auf der rechten Seite hast Du auch nicht korrekt durchmultipliziert, s. mein Posting unten.

Gruß Volker

#6

nochmal
Hallo Michael,
OK, vielleicht habe ich mich nicht deutlich ausgedrückt:

C = A + (B1/x^1) + (B2/x^2) +(B3/x^3)

OK, soweit waren wir schon :smile:

Ich setze als C = 0

Das war die interessante Info. Dann steht also als nächstes:
0= A + (B1/x^1) + (B2/x^2) +(B3/x^3)

  • dann darf ich umformen:
    Ich multipliziere die x-Terme auf die andere Seite und erhalte
    x^1+x^2+x^3 = A+B1+B2+B3

Wie kommst du darauf? Das ist falsch (darauf wollte ich mit meiner vorherigen Antwort hinaus). Du musst alle Terme auf beiden Seiten mit dem gleichen Term multiplizieren.
Also, du fängst an mit
0= A + (B1/x^1) + (B2/x^2) +(B3/x^3)
Dann musst du, um die Brücke wegzubekommen, nur einmal mit x³ multiplizieren und zwar alles. Ausführlich steht da also
0*x³ = 0= [A + (B1/x^1) + (B2/x^2) +(B3/x^3)]*x³= Ax³+B1x²+ B2x+ B3

Für den Rest s. meinen vorherigen Beitrag.

A = 100000
B1= 50000; B2=80000; B3=50000

Deine Gleichung lautet also
0 = 100000x³+ 50000x²+ 80000x+ 50000
Eine nicht-komplexe Lösung wäre mit diesen Zahlen ca. x=-0,587 (ausgerechnet hier: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm)

Viele Grüße
Kati

#7

Hallo,

vielen Dank erneut fuer deine Rueckmeldung.

Ich kann deinen Schritt zwar nachvollziehen, aber das Ergebnis stimmt nicht -:smile:

Noch einmal bei einem konkreten Beispiel:

C = (-A) + (B1/x^1) + (B2/x^2) + (B3/x^3)+ (B4/x^4)

wobei:
C = Kapitalwert
(-A) sind die Anschaffungskosten
B1 sind die jeweiligen Einzahlungsueberschuesse
x entspricht r = Kalkulationszinssatz, welcher einheitlich ist.

die Zahlen:

(-A) = -104.450
B1 = 60000
B2= 50000
B3 = 40000
B4 = 30000

Ich moechte nun herausfinden, ab welchem Kalkulationszinssatz (r=x^n) der Kapitalwert Null, d.h., der kritische Wert der Kalkulationszinssatzes (Sensitivitaetsanalyse)

Nach der Tabelle, die mir vorliegt, waere dies bei 30%. Ich moechte dies aber gerne berechnen koennen und nicht lediglich ablesen.

Ich habe Dir analog auch eine Nachricht bei www gesendet.

Vielen Dank.

Viele Gruesse
Michael

#8

Hallo Volker,

vielen Dank.

Im Moment bin ich noch auf dem Holzweg.

Ich habe auch Dir eine Nachricht zukommen gelassen, die Du mir ggf. zudem beantworten kannst.

Danke!

Viele Gruesse
Michael

#9

0*x³ = 0= [A + (B1/x^1) + (B2/x^2) +(B3/x^3)]*x³= Ax³+B1x²+
B2x+ B3

Genau! Ich forme die Gleichung weiter um.
Da man davon ausgegangen kann, dass x (r=Kalkulationszinssatz) einheitlich ist, kann ich die Exponenten doch addieren, oder?

Demnach erhalte ich folgende Gleichung:

0 = Ax^3 + B1x^2 + B2x + B3
0 - B3 = Ax^3 + B1x^2 + B2x
(-B3) / (A+B1+B2) = x^3+x^2+x^1 wenn x einheitlich, dann
(-B3) / (A+B1+B2) = x^6
6Wurzel (-B3) / (A+B1+B2)

So, nur dass ich bedauerlicherweise ein Minus-Betrag unter der Wurzel herausbekomme…

#10

Hallo Michael,
ich bin in meinen Antworten davon ausgegangen, dass du nur die eben besprochene Formel nach x auflösen wolltest, d.h. mir war egal für was die verschiedenen Konstanten stehen- ob das jetzt ein Kalkulationszinssatz oder Äpfel und Birnen sind, ist mathematisch erstmal irrelevant.

Nach deiner Mail bin ich mir jetzt aber nicht mehr sicher, ob ich dir weiterhelfen kann. Wenn es nur ums Formel-Umstellen geht, dann glaube ich nicht, dass ich falsch liege.
Aber um deine komplette Aufgabe zu behandeln, müsste ich mich erst einlesen (da fehlt mir allerdings jetzt im Moment die Zeit), was die ganzen Fachbegriffe im Einzelnen bedeuten, was eigentlich auszurechnen ist und welche der Zahlen relevant sind.

Wenn nicht schon alles per Mail mit Volker geklärt ist, dann kannst du ja mal die gesamte Aufgabe einstellen, dann lesen vielleicht auch wieder mehr Leute mit.

Viele Grüße
Kati

#11

ein paar Rechenfehler
Hallo Michael,
wieder nur rein mathematisch, ohne irgendwelches Finanz-Hintergrundwissen meinerseits.

0 = Ax^3 + B1x^2 + B2x + B3
0 - B3 = Ax^3 + B1x^2 + B2x

Soweit stimmt es, aber ab da machst du einige gravierende Rechenfehler:

(-B3) / (A+B1+B2) = x^3+x^2+x^1 wenn x einheitlich, dann

Das ist schon falsch. Du kannst die Koeffizienten vor den x nicht einfach so durchteilen. Da kommt das ins Spiel, was ich vorhin mit „bei einer Gleichung musst du auf allen Seiten das gleiche machen“ meinte.

Kleines Beispiel, das vielleicht übersichtlicher ist:
0= 2x²+3x+ 1
Jetzt könntest du auf beiden Seiten 1 subtrahieren, das entspricht dem, was du oben (ganz richtig) gemacht hast:
-1 = 2x²+3x
Wenn du aber jetzt z.B. durch 2 teilen willst, dann teilst du alles auf beiden Seiten durch 2:
-1/2 = (2x²+3x)/2= x²+3x/2

Was du versucht hast, wäre in diesem Beispiel durch (2+3), also 5, zu teilen.
Wenn man das macht, dann erhält man -1/10 = (2x²+3x)/(2+3)= (2x²+3x)/5 = 2/5x² +3/5x²
Du siehst, wenn du einfach durch die Summe der Koeffizienten (oben A, B1 etc.) teilst, dann bleiben eben nicht die reinen x stehen.

(-B3) / (A+B1+B2) = x^6

Auch wenn der vorherige Schritt nicht falsch wäre- der ist auch falsch.
Oben steht x³+x²+x, das ist nicht gleich x⁶! Wenn du multiplizierst, dann ja, aber nicht wenn du addierst! Setz z.B. für x=1 ein, dann siehst du ja, dass es nicht stimmen kann.

Viele Grüße
Kati

#12

Hallo Kati,

vielen Dank fuer deine Rueckmeldung.

Ja, ich hoffe, das Volker mir meine Nachricht noch beantworten wird.

Bereits in der Vergangenheit habe ich an diverse ‚Experten‘ E-Mail versenden, leider aber nie eine Rueckmeldung erhalten.

Ich denke, dass dies eigentlich egal sein darf, ob es sich jetzt um einen Kalkulationszinssatz handelt oder dergleichen.

Wollte damit nur bekannt geben, dass die x-Wert einheitlich betrachtet werden koennen.

Nach meiner Einschaetzung handelt es sich hier um eine mathematische Operationen - nicht mehr, nicht weniger.

Dennoch muss mathematisch doch bewiesen werden, dass dies (das Ergebnis) korrekt ist.

Ist denn der Schritt in meiner vorangegangenen Nachricht - den ich separat gesendet habe, korrekt. Wenn nein, warum?

Viele gruesse
Michael

#13

Hallo Kati,

ja, Du hast Recht, ganz klar.

Es sind ja Summanden.

Andernfalls waere doch aber die Aequvialenzschritte richtig, oder?

Zu den Exponenten:

Kann ich bei gleicher Basis die Exponenten nicht banal addieren - wie gehen die einfachen mathematischen Rechenregeln noch einmal? -:smile:

Viele Gruesse
Michael

#14

Hallo Michael,

Zu den Exponenten:

Kann ich bei gleicher Basis die Exponenten nicht banal
addieren - wie gehen die einfachen mathematischen Rechenregeln
noch einmal? -:smile:

Bei einer Summe mit unterschiedlichen Exponenten kannst du im Normalfall nichts weiter zusammenfassen, z.B. kann man x²+x nicht weiter zusammenfassen. Man könnte höchstens noch ein x ausklammern: x²+x = x(x+1), aber das hilft im Normalfall auch nicht weiter.
Das kannst du dir auch überlegen: x²+x heiße ja nichts anderes als x*x+x und das ist nunmal nicht das gleiche wie x³= x*x*x

Allgemein:
Du kannst addieren/subtrahieren bei gleichem Exponenten und gleicher Basis:
Bsp: x+ x = 2x oder z.B. 5x²+ x²- 2x²+ 3x²= 7x²

Du kannst multiplizieren/ dividieren bei gleicher Basis:
Bsp: x²*x*x²= x⁵ oder x⁹/x= x⁸

Viele Grüße
Kati

#15

Vielen Dank!
Damit wurden meine mathematische Kenntnisse, wenn man davon schon sprechen kann, aufgefrischt.

Vielen Dank und einen angenehmen Sonntag!

Viele Gruesse
Michael

#16

Hallo Michael,

da mein Name als evtl. Helfer gefallen ist, hier auch die öffentliche Info, das ich Dir nicht auf die Schnelle helfen kann. Ich müsste mich auch in die Begrifflichkeiten einarbeiten. Vor dem nächsten WE habe ich beim besten Willen keine Zeit dazu, tut mir leid.

Evtl. kannst Du ja ein kurzen Posting in Business&Finanzen machen, mit der Bitte hier mal reinzuschauen und zu helfen. Dort sollten die Fachbegriffe bekannt sein.

Ansonsten musst Du Dir ganz dringend die Rechengesetze für Potenzen ansehen, ebenso die Äquivalenzumformungen. Hast Du noch Mathehefte aus der Schulzeit oder Mathebücher.

Es gibt auch online-portale, die Mathe anbieten, mit Übungen und Lösungen, Du musst die Grundlagen festigen! Leider habe ich jetzt keine konkrete Empfehlung.

Viel Erfolg!

Gruß Volker