Fourier-Transformation

Wissenschaft Mathematik
#1

hallo!

Die diskrete Fourier-Transformation ist ja definiert als:

\tilde a_{k}=\frac{1}{\sqrt{N}}*\sum_{n=0}^{N-1}{a_{n}*e^{\frac{2\pi*i*k*n}{N}}}

Der Exponent ist etwas klein geraten, er lautet
(2*\piik*n)/N

meine Überlegungen dazu:

erster Wert:

\tilde a_{0}=\frac{1}{\sqrt{N}}*\sum_{n=0}^{N-1}{a_{n}}

k ist beim ersten Wert ja immer 0, also ist der Exponent 2*Pi*i*k*n=0 mit k=0, sodass einfach immer die einzelnen Werte summiert werden

alle weiteren Werte:
Ab jetzt verändert sich das k, doch ich habe per Ausrechnen herausgefunden, dass

e^{2*\pi*i*x}=1
mit
{x\in\mathcal{Z}}

Der e-Term ist also immer 1, sodass wieder einfach nur die einzelnen Werte summiert werden.

Stimmt das?
Wohl eher nicht, denn dann könnte man ja gleich ne einfache Summe hinschreiben.
Wo liegt also mein Fehler?

Gruß
Paul

#2

Hey Paul,

e^{2\pi \cdot i \cdot x}=1 \hspace{1cm} x\in \mathbb{Z}

Ich denke, dass für dein x gilt:

x = \frac{k \cdot n}{N} \notin \mathbb{Z}

Könnte es evtl. dadran liegen?

Gruß René

#3

Ich denke, dass für dein x gilt:

x = \frac{k \cdot n}{N} \notin \mathbb{Z}

Das stimmt so nicht, es kommen Fälle vor, wo x eine ganze Zahl ist.
Das sind aber eher die Ausnahmen.

Durch deinen Hinweis habe ich bemerkt, dass ich in all meinen handschriftlichen Berechnungen das „N“ im Nenner des Exponenten vergessen hatte^^ Das erklärt auch meine falschen Annahmen. Jetzt treten auch von Z verschiedene x auf.

Alle Berechnungen gehen jetzt gut, bis auf diese hier:
diskrete Fourier-Transformation von {1,i,-1,-i} soll laut wolframalpha {0,0,0,2} sein.
(http://www.wolframalpha.com/input/?i=fourier+{1%2Ci%…)
Ich habe aber {0,-1,0,1} raus.
Generell vertraue ich meinen Berechnungen mehr, doch hierbei können sich Fehler einschleichen.
vielleicht kann ja mal jemand drüber schauen

\tilde a_{0}=\frac{1}{2}*(1*e^{\frac{2\pi i 0 0}{4}} + i*e^{\frac{2\pi i 0 1}{4}} - 1*e^{\frac{2\pi i 0 2}{4}} - i*e^{\frac{2\pi i 0 3}{4}} ) = \frac{1}{2}*(1+i-1-i)=0

\tilde a_{1}=\frac{1}{2}*(1*e^{\frac{2\pi i 1 0}{4}} + i*e^{\frac{2\pi i 1 1}{4}} - 1*e^{\frac{2\pi i 1 2}{4}} - i*e^{\frac{2\pi i 1 3}{4}} )

=\frac{1}{2}*(1+i^2+1-+i^2)=\frac{1}{2}*(2+2i^2)=i^2=-1

\tilde a_{2}=\frac{1}{2}*(1*e^{\frac{2\pi i 2 0}{4}} + i*e^{\frac{2\pi i 2 1}{4}} - 1*e^{\frac{2\pi i 2 2}{4}} - i*e^{\frac{2\pi i 2 3}{4}} ) = \frac{1}{2}*(1-i-1+i)=0

\tilde a_{3}=\frac{1}{2}*(1*e^{\frac{2\pi i 3 0}{4}} + i*e^{\frac{2\pi i 3 1}{4}} - 1*e^{\frac{2\pi i 3 2}{4}} - i*e^{\frac{2\pi i 3 3}{4}} )

=\frac{1}{2}*(1-i^2+1-i^2)=\frac{1}{2}*(2-2i^2)=-i^2=1

Gruß
Paul

#4

Hey Paul,

Das stimmt so nicht, es kommen Fälle vor, wo x eine ganze Zahl
ist.
Das sind aber eher die Ausnahmen.

Das meinte ich.

Bei deinen Berechnungen sind ein paar einfache Flüchtigkeitsfehler drin:

\tilde a_{0} = 0
Passt.

\tilde a_{1}= \dots = \frac{1}{2}*(2+2i^2)= i^2=-1

Hier ist ein Fehler:

\tilde a_{1}= \dots = \frac{1}{2}*(2+2i^2)= 1+i^2=1-1=0

Also stimmt wolframalpha bis jetzt.

\tilde a_{2}=0

Passt wieder.

Beim nächsten wieder gleicher Fehler wie oben:

\tilde a_{3}= \dots = \frac{1}{2}*(2-2i^2)=-i^2=1

Es müsste sein:

\tilde a_{3}= \dots = \frac{1}{2}*(2-2i^2)=1-i^2=1+1=2

Gruß René

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#5

Hier ist ein Fehler:

\tilde a_{1}= \dots = \frac{1}{2}*(2+2i^2)= 1+i^2=1-1=0

Stimmt, 0.5*2 ist 1 und nicht 0.

danke fürs Anschauen und die Hilfe,
Gruß
Paul