Fourier - Was ist der Realteil, was der Betrag?

Wissenschaft Physik
#1

Hallo liebe Experten,

ich stehe momentan vor einem Problem: Ich möchte gerne richtig verstehen, ob für das Spektrum bei einer Fouriertransformation nur der Realteil wichtig ist, oder ob man dazu den Imaginärteil braucht.

Macht man eine Fouriertransformation, lautet die allg. Formel
Integral von - infty bis + infty von f(x)e^{-iwt}dw

wo e^{-iwt} = cos(wt) - i sin(wt)

Wie ist es nun? Ist das Spektrum eines Zeitsignals nun nur der Realteil der fouriertransformierten Zeitfunktion?
Oder ist es der Betrag der fouriertransformierten Zeitfunktion, also
sqrt(cos^2(wt) + sin^2(wt)), wo auch der Imaginärteil drin steckt?
Und warum?

Ich habe lange gesucht, aber leider noch keine zufriedenstellende Antwort gefunden. Stattdessen schwirren in meinem Kopf viele verschiedene Ideen herum. Ich hoffe, von Euch ist jemand in der Lage, diesen Wirrwar in meinem Kopf zu lichten.

Viele Grüße,

Bernhard

#2

Hallo liebe Experten,

ich stehe momentan vor einem Problem: Ich möchte gerne richtig
verstehen, ob für das Spektrum bei einer Fouriertransformation
nur der Realteil wichtig ist, oder ob man dazu den
Imaginärteil braucht.

Man braucht beides. Du siehst es vielleicht besser, wenn Du die komplexen Zahlen nicht als „Real und Imaginärteil“, sondern als „Betrag und Phase“ notierst. Du bekommst dann eine Aussage über den Betrag (Das Amplitudenspektrum) aber auch über die Phase! Das ist z.B. für die Theorie bei Filterschaltungen sehr wichtig.

Gruß

Fritze

#3

Wie soll ich das verstehen?
Hallo liebe Experten und insbesondere Fritze,

ich stehe momentan vor einem Problem: Ich möchte gerne richtig
verstehen, ob für das Spektrum bei einer Fouriertransformation
nur der Realteil wichtig ist, oder ob man dazu den
Imaginärteil braucht.

Man braucht beides. Du siehst es vielleicht besser, wenn Du
die komplexen Zahlen nicht als „Real und Imaginärteil“,
sondern als „Betrag und Phase“ notierst. Du bekommst dann eine
Aussage über den Betrag (Das Amplitudenspektrum) aber auch
über die Phase! Das ist z.B. für die Theorie bei
Filterschaltungen sehr wichtig.

Also ist es eigentlich falsch, das Amplitudenspektrum zu errechnen, indem man
sqrt( Realteil^2 + Imaginärteil^2 )
berechnet?
Wäre es richtiger zu sagen, daß das Amplitudenspektrum nur dem Betrag vom Realteil entspricht?

Und warum ist die Phase wichtig? Ich weiß zwar, wie man sie berechnet, aber mir ist nie klar geworden, was die Phase eigentlich für den Praktiker darstellt.
Weiß jemand Antwort? Würde mich sehr freuen.

Viele Grüße!

Bernhard

#4

Hallo,

Also ist es eigentlich falsch, das Amplitudenspektrum zu
errechnen, indem man
sqrt( Realteil^2 + Imaginärteil^2 )
berechnet?

Nein, das ist genau richtig. Es handelt sich dabei um den Betrag der komplexen Zahl. Aber das ist ja nur ein Teil der Information, gell? Wenn man nur den Betrag bräuchte, dann könnte man ja gleich reelle Zahlen nehmen :smile:

Wäre es richtiger zu sagen, daß das Amplitudenspektrum nur dem
Betrag vom Realteil entspricht?

Nein, das wäre ganz falsch.

Und warum ist die Phase wichtig? Ich weiß zwar, wie man sie
berechnet, aber mir ist nie klar geworden, was die Phase
eigentlich für den Praktiker darstellt.

Hmm. Versuch eines anschaulichen Beispiels. Wenn Du eine 180° Phasenverschiebung zwischen Deiner rechten und linken Stereobox hast, dann löscht sich das Signal in der Mitte aus, wenn Schallwellenberg auf Schallwellental treffen. Das wäre ganz sicher nicht in Deinem Sinne.

Gruß

Fritze

#5

Hallo Bernhard!

Du kannst dir das ganz analog zu den Fourierreihen vorstellen, bei
denen du einzelne harmoniche Schwingungen mit ganzzahlig Vielfachen
der Periodendauer der Grundschwingung überlagerst. Betrachtest du nun
nichtperiodische Signale, dann entspricht die Amplitude des
Amplitudenspektrums gerade dem Betrag der harmonischen Schwingung bei
der Frequenz f. Zusätzlich ändert sich bei jedem Zeiger aber auch die
Phasenlage. Nur durch die amplituden- und phasenrichtige Überlagerung
erhälst du das ursprüngliche Signal. Bildlich kannst du dir das
Fourierintegral als eine Raumkurve vorstellen. Der Real- und
Imaginälteil liegt in einer Ebene. Aus dieser Ebene heraus zeigt die
Frequenzachse. Für jede Frequenz existiert nun ein komplexer Zeiger,
der gemäß der Fouriertransformation eine bestimmte Lage in diesem
Raum einnimmt, und mit seiner Länge der Amplitude und seiner Lage in
der komplexen Ebene seiner Phase entspricht. Der Übersichtlichkeit
halber stellt man beide Informationen jedoch üblicherweise getrennt
dar.

Gruß

Michael