Hallo,
Hab heier die trigonometrische Fourriereihe von |cos(x)| auszurechnen.
\begin{eqnarray}
A_k &=& \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(k x) : dx
\nonumber\
&=& \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |\cos(x)| \cos(k x) : dx
\nonumber\
&=& \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} |\cos(x)| \cos(k x) : dx
\nonumber\
&=& \frac{2}{\pi} \left(\int_{0}^{\pi/2} \cos(x) \cos(k x) : dx - \int_{\pi/2}^{\pi} \cos(x) \cos(k x) : dx\right)
\nonumber
\end{eqnarray}
Dabei wurde beim dritten „=“ ausgenutzt, dass der Integrand eine gerade (= zur y-Achse spiegelsymmetrische) Funktion ist. Beim vierten „=“ wurde der Betrag aufgelöst.
Jetzt kann man die Cosinus-Produkte via cos(a) cos(b) = 1/2 (cos(a – b) + cos(a + b)) als Summen ausdrücken und anschließend die Integrale auswerten.
Ergebnis:
\begin{eqnarray}
A_k
&=& \frac{2}{\pi} \left(\frac{\sin(\frac{\pi}{2}(1 - k))}{1 - k}
- \frac{\sin(\frac{\pi}{2}(1 + k))}{1 + k}\right)
\nonumber\
&=& \frac{2}{\pi} \cos\left(\frac{\pi}{2} k\right) \left(\frac{1}{1-k} + \frac{1}{1+k}\right)
\nonumber\
&=& \frac{4}{\pi} \frac{\cos\left(\frac{\pi}{2} k\right)}{1 - k^2}
\nonumber
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\quad&=&
\left{
\begin{array}{cl}
\displaystyle
-\frac{4}{\pi} \frac{1}{k^2 - 1} & \textnormal{f"ur}:: k = 0, 4, 8, …\[8pt]
\displaystyle
\frac{4}{\pi} \frac{1}{k^2 - 1} & \textnormal{f"ur}:: k = 2, 6, 10, …\[8pt]
\displaystyle
0 & \textnormal{f"ur}:: k = 1, 3, 5, …
\end{array}
\right.
\nonumber
\end{eqnarray}
Damit kennt man die Fourierkoeffizienten. Für die Bk braucht man nichts zu rechnen; man weiß ja von vornherein, dass sie alle Null sein müssen (warum?).
Mit allem einverstanden? Nein? Richtig: A1 = 0 folgt nicht aus der Zeile eins drüber, denn der Bruch dort wird für k = 1 zu „0/0“ und das ist nicht definiert. Für k = 1 muss man also das Integral gesondert auswerten werden, mit dem Ergebnis
A1 = 1/π ∫ |cos(x)| cos(x) dx = … = 0.
(Achtung, Stolperstein: Man lasse sich mal den Graph zu 4/π cos(π/2 t) / (1 – t2) plotten. Dann sieht man, dass für t → 1 nicht nur sowohl der links- als auch rechtsseitige Grenzwert existiert, sondern auch, dass beide gleich 1 sind. Davon darf man sich jedoch nicht zu dem Schluss verleiten lassen, A1 sei dann wohl 1, denn tatsächlich ist A1 = 0. An dieser Stelle heißt es also aufgepasst.)
Damit ist die Aufgabe gelöst: die Fourierapproximation von |cos(x)| ist
\frac{2}{\pi} + \frac{4}{\pi} \left(
\frac{1}{3} \cos(2x)
-\frac{1}{15} \cos(4x)
+\frac{1}{35} \cos(6x)
-\frac{1}{63} \cos(8x)
(A0 geht nur mit dem Faktor 1/2 ein.)
Das kannst Du jetzt zusammen mit |cos(x)| in einen Funktionenplotter eingeben und die Sache begutachten.
Gruß
Martin
