Servus,
um eine Kugel wird ein Seil gewickelt und danach die Länge des Seiles für den Umfang gemessen. Um das Seil jetzt so weit zu verlängern, daß es genau einen Meter im Radius um den Umfang der Kugel schwebt benötigt man wieviel zusätzliche Seillänge?
Ist diese Verlängerung auch für andere kugelförmigen Körper wie Jupiter, Saturn, Sonne etc. gültig?
Gruß
Trianon
2π Meter
Ja
Zum selber ausrechnen
Umfang =2 x Radius x Pi bzw 1x Durchmesser x Pi
Seillänge, wenn es aufliegt =U
(Ich lasse die Einheit m weg, damit die Physiker sich ärgern)
Gegeben:
Kreisumfang U1 = 2r π
Gesucht:
Kreisumfang U2/m = 2(r+1)π = 2r π + 2π = U1 + 2π
Das Seil muss also um ca. 6,28m verlängert werden.
Da der Term 2π, der die Verlängerung angibt, konstant und somit unabhängig vom Radius ist, gilt das für Kreise/Kugeln beliebiger Größe.
Vergrößert man den Umfang eines beliebigen Kreises um 2π, so vergrößert sich dessen Radius um 1.
Um die Frage zu beantworten, müssen wir mit der Geometrie der Kugel und der Seilwicklung arbeiten.
Angenommen, die Kugel hat einen Radius R. Das ursprüngliche Seil wird genau um den Umfang der Kugel gewickelt. Der Umfang einer Kugel ist 2πR. Also ist die Länge des Seils zu Beginn L1 = 2πR.
Jetzt möchten wir das Seil so verlängern, dass es genau einen Meter über dem ursprünglichen Umfang schwebt. Das bedeutet, dass wir den Radius der Kugel um 1 Meter erhöhen,
sodass der neue Radius R + 1 m ist.
Der neue Umfang des Kreises mit dem Radius R + 1 m ist:
L2 = 2π(R + 1 m)
Die zusätzliche Länge des Seils ist also die Differenz zwischen dem neuen Umfang und dem ursprünglichen Umfang:
ΔL = L2 − L1 = 2π(R + 1 m) − 2πR = 2πR + 2π m - 2πR = 2π m.
Also benötigt man ungefähr 6,28 Meter zusätzliches Seil, um es genau einen Meter über dem ursprünglichen Umfang zu positionieren.
Ja, dieses Prinzip gilt auch für andere kugelförmige Körper wie Jupiter, Saturn oder die Sonne. Der Zusammenhang ist rein geometrisch und hängt nur vom Radius der Kugel ab. Wenn man den Radius um 1 Meter erhöht, wird die zusätzliche Seillänge immer 2π Meter betragen, unabhängig von der Größe des Körpers.
Dies bedeutet also, dass, obwohl der Radius von Jupiter, Saturn oder der Sonne viel größer ist als der einer kleinen Kugel, die zusätzliche Seillänge immer gleich bleibt: 2π Meter.
Für sehr große Körper (wie die Sonne) mag diese zusätzliche Länge im Vergleich zum Gesamtumfang winzig erscheinen, aber der mathematische Zusammenhang bleibt gleich.
Du bist inkonsequent.
Das stimmt (Hervorhebung von mir)
Stimmt - hab ich übersehen beim abschließenden Draufgucken.
So hab ich immerhin alle geärgert. 