Liebe/-r Experte/-in,
Ich bin Schüler an einem allgemeinbildenden Gymnasium und habe ein Problem mit der Herleitung der Formel für die Länge eines Kurvenabschnitts.
Ich halte darüber übernächste Woche eine GFS (eine Präsentation, die wie eine Klausur gewertet wird) und bin wirklich ratlos.
Die Schulbücher, die dieses Thema erläutern, verirren sich in kryptischen Formulierungen, wodurch bei mir nur noch mehr Verwirrung hervorgerufen wird.
Über Integral- und Differentialrechnung habe ich bereits sehr gute Kenntnisse, deswegen hat es mich auch erstaunt, dass ich die Ausführungen nicht verstanden habe…
Könnten Sie mir bei diesem Problem helfen.
Ich weiß, dass Sie sich mit Mathematik sehr gut auskennen (zumindest sind Sie als Experte markiert), dennoch würde Ich Sie darum bitten, Ihre Antwort so ausführlich und verständlich wie möglich zu schreiben.
Schon im Voraus vielen Dank für Ihre Mühen
MfG
P.M.
Hallo,
ich vermute, es geht um die Herleitung der Formel der Bogenlänge (Länge eines Kurvenstücks). Auf folgender Seite steht eine Herleitung:
http://www.in-sel.com/selma/Drehkoerper/hilfe/infobo…
Ähnlich sind die Darstellungen in den Schulbüchern. Mir ist nicht klar, welche/r Schritt/e unklar sind.
Die Grundidee ist die, dass man kleine Kurvenstücke als Geraden nähert, die dann den Hypotenusen eines rechtwinkligen Dreiecks entsprechen. Die Katheten sind dann die Differenzen der x-Werte bzw. der y-Werte.
Man klammert dann dx aus, so dass aus Wurzel(dx² + dy²) = Wurzel(dx²(dx²/dx²+dy²/dy²)) = Wurzel(1+dy²/dx²)*dx wird. Das gesamte Bogenstück bekommt man dann durch Aufsummieren der ganzen kleinen Stücke, also durch Integration.
Ich hoffe, das hilft weiter…
Viele Grüße
Hallo,
ich vermute, wenn ich dir einfach die Loesung schreibe, hilft dir das wenig.
Versuche also zunaechst die einen Geradenzug vorzustellen. Also ein Kurve, die aus kleinen geraden Strecke besteht. Die Stueckchen sollen jeweils die gleiche Breite haben, sagen wir mal b.
Nun berechne die Laenge des gesamten Geradenzuges als Summe der einzelnen Teillaengen.
Jetzt erinnere dich an die Einfuehrung des Integrals. Lass b immer kleiner und kleiner werden. Wenn b infinitesimal klein ist, dann wir die Summe zu einem Integral. Die fertige Formel fuer die Kurvenlaenge findest du sicher bei Wikipedia oder so.
Gruesse, Felix.
Vielen Dank für die schnelle Antwort,
Ja, die Site hat mir weitergeholfen…
Mein Fehler war anzunehmen, dass ein Integral nur eine Fläche unter einem Graphen bestimmen könnte, aber das hat sich ja jetzt als anders herausgestellt.
Noch einmal Vielen Dank
MfG
P.M.
Vielen Dank Ihnen für die schnelle Antwort.
Ihre Antwort hat zwar nicht den Knoten platzen lassen, doch Sie hat mir meinen Fehler bewusst gemacht:
Ich habe angenommen, dass man mit einem Integral nur Flächen unter einer Kurve bestimmen könnte.
Nachdem mir das klar wurde, war der Rest (auch mit Hilfe anderer Antworten) relativ problemlos.
Noch einmal vielen Dank
MfG
P.M.
Hallo P.M.
leider kann ich hier meine Antwort weder als Word-Datei noch als pdf-Datei anhängen. So bleiben nur die beiden folgenden Links:
http://www.in-sel.com/selma/Drehkoerper/hilfe/infobo…
http://mathematik-online.de/F55.htm
Oder du schreibst mir unter [email protected],
dann schicke ich dir meine ausführlich Darstellung als Word- und als pdf-Datei
MfG
K.M.
Lieber P.M.,
leider komme ich erst heute dazu, zu antworten.
Und leider auch mit der Nachricht, dass ich ich zZt. nicht die nötige Zeit habe, eine hilfreiche Antwort zu formulieren.
Es tut mir leid, keine bessere Antwort geben zu können!
Ich hoffe, Du findest anderweitig gute Hilfe und kriegst eine gute Präsentation zustande.
Grüße
Jürgen
Hallo,
ich verstehe die Frage nach der Laenge eiens Kurvenabschnitts wie folgt: Man hat eine Funktion f(x) und moechte die laenge der Linie ausrechnen, die Funktionsgraph zwischen den Punkten x1 und x2 liegt.
Man kann nun gedanklich Die Funktion in kleine, abschnittsweise gerade Abschnitte unterteilen. Auf der x-Achse ist ein solcher Abschnitt dx lang. auf der y-Achse ist derselbe Abschnitt dx * f’ lang, wobei f’ die erste Ableitung von f(x) ist (Das kann man am besten in einer Zeichnung sehen).
Die Laenge des geraden Abschnitts ist dann (Satz des Pythagoras) Wurzel(dx^2 + (dx * f’)^2).
Die Summe aller Teilabschnitte von x1 bis x2 bekommt man, wenn man von x1 bis x2 integriert, also:
S = integral_von_x1_bis_x2 wurzel(1 + f’(x)) dx
Ich finde es schwierig, dass ohne Zeichnung zu verstehen, hoffe aber, dass es trotzdem weiter hilft