Frage zu Miete und Recht

Hallo!
Ein problematischer Sachverhalt:
Angenommen, vor kurzem sei Person X mit ihrem Lebenspartner Y umgezogen in eine andere Stadt. Sie mieteten sich für dauerhaft eine 3-Raumwohnung. Es stünde ihnen ein mietfreier Monat zur Verfügung. Die Schlüsselübergabe sei Ende April. Der tatsächlicher Einzug am 1.-3. Mai. Einen Mietvertrag bekamen sie Ende Mai erst. Nun steht im Mietvertrag WÖRTLICH „Das Mietverhältnis beginnt am 15. Mai 2008.“. Also müsste ihrer Meinung nach der mietfreie Monat bis zum 15. Juni gelten. Allerdings behauptet nun Vermieter Z der mietfreie Monat gelte sofort ab Schlüsselübergabe und die Personen sollten eine gesamte Miete nachzahlen (?)- Wäre das wirklich rechtens (?)
Außerdem wurde vom Vermieter eine EBK zur Benutzung zur Verfügung gestellt (=Bestandteil der Wohnung), deren Ofen seit nun 2 Monaten defekt ist und nicht repariert worden ist.

Kurz und gut ich wüsste gerne, welche Rechte X+ Y hier haben!
Ich wäre dankbar für jede Antwort!

Bitte vergesst nicht zur Untermauerung eurer Antwort Paragraphen einzufügen, sofern welche bekannt sind! Das wäre sehr hilfreich!!
Danke!

Hallo,

Die Schlüsselübergabe sei Ende April.

Das ist der Termin, ab der die Wohnung zur Verfügung steht. Und das ist doch völlig unabhängig von der Übergabe des Vertrags. Der mietfreie Monat sollte offensichtlich zur Renovierung genutzt werden. Ein ziemliches Entgegenkommen des Vermieters. Warum sich der Mieter jetzt auf einmal einen zusätzlichen mietfreien Monat erschleichen will, ist mir unbegreiflich.
Ein Vertrag ist eine beiderseitige Einigung. Diese hat offensichtlich bei der Schlüsselübergabe bereits bestanden, sonst wäre doch gar kein Schlüssel übergeben worden. Der schriftliche Vertrag ist nur eine schriftliche Niederlegung dessen, was bereits abgesprochen war. Dass nun der Mietbeginn auf den 15. gelegt wurde, ist ein weiteres Entgegenkommen des Vermieters, offensichtlich soll wohl ab 15. dann Miete gezahlt werden. Also sogar 1,5Monate kostenlos.

Außerdem wurde vom Vermieter eine EBK zur Benutzung zur
Verfügung gestellt (=Bestandteil der Wohnung), deren Ofen seit
nun 2 Monaten defekt ist und nicht repariert worden ist.

Im Mietvertrag erwähnt? Dem Vermieter den Defekt gemeldet?

Ich würde anstelle des Vermieters bestimmt keinen neune Herd beschaffen, bevor die Miete nicht bezahlt ist. Und anstelle des Mieters würde ich bei so einem Vermieter den Ball gaaanz flach halten - das scheint ein ziemlich netter Vermieter zu sein, mit dem man es sich nun wirklich nicht mutwillig verderben sollte. Und das auch noch gleich am Anfang.

Gruß
loderunner (ianal)