Ich habe mal gelesen, dass man so auf π gekommen ist:
Man beschreibt ein Quadrat Q1 mit der Diagonalen 2r in
einem Kreis (2r=d (Durchmesser) (das Quadrat berührt
den Kreis 4mal)) und legt ein Quadrat Q2 mit der Seiten-
länge 2r um den Kreis, sodass dessen Seiten Tangenten des
Kreises sind. Q1 hat (nach dem Satz des Pythagoras) die Seiten-
länge √2r und somit die Fläche:
A1 = (√2r)*(√2r) = 2r^2
,die Fläche von Q2 beträgt:
A2 = (2r)^2 = 4r^2.
π muss zwischen 2 und 4 liegen.
Genaue Formel: A(Kreis) = π*r^2
Fragen: 1. Stimmt das Obige?
2. Wenn ja: Wie kam man dann auf π = 3,141592653…?
Ich danke allen, die antworten, im Vorraus.
Fragen: 1. Stimmt das Obige?
2. Wenn ja: Wie kam man dann auf π =
3,141592653…?
Ja, ich weiß aber nicht, ob das der historische Weg zu Pi war
Indem man nach den Quadraten zwei Fünfecke nimmt, dann zwei Sechsecke, Siebenecke und so weiter - je mehr Ecken desto näher kommt man dem wirklichen Wert von Pi.
ob das historisch richtig ist, weiß ich nicht, rechnerisch stimmt es. Einfacher geht es wohl, anstatt der Fläche den Umfang des Quadrates zu betrachten, das einem Kreis einbeschrieben werden kann, sodann ein 5-, 6-, …, n-Eck mit beliebig großem n. Daraus lässt sich eine Folge bilden, deren Grenzwert eben Pi ergibt.
ob das historisch richtig ist, weiß ich nicht, rechnerisch
stimmt es. Einfacher geht es wohl, anstatt der Fläche den
Umfang des Quadrates zu betrachten, das einem Kreis
einbeschrieben werden kann, sodann ein 5-, 6-, …, n-Eck mit
beliebig großem n. Daraus lässt sich eine Folge bilden, deren
Grenzwert eben Pi ergibt.
und zwar so:
Ein n-Eck kann man sich zusammengesetzt aus n Dreiecken vorstellen. Es sind gleichschenklige Dreiecke, deren Spitze im Mittelpunkt des Kreises liegt. Die Höhe der Dreiecke strebt für sehr große n gegen den Wert r (Radius). Die Basis (sei heißt doch die kurze untere Seite, oder?) hat eine Länge, die für sehr große n einzeln jeweils gegen 0 strebt. Aber: Wir wissen, dass alle Basen zusammen genau den Umfang ergeben, also beträgt die Länge der Basis b = u/n (u: Umfang). Die Fläche eines Dreiecks beträgt daher:
A(1) = 1/2 b * h = 1/2 u/n * r
Für alle Dreiecke zusammen ergibt sich dann die Kreisfläche zu
A = n * A(1) = 1/2 u * r
Nun hat Gandalf bereits verraten, dass π das Verhältnis aus Umfang zu Durchmesser ist, d. h. π=u/(2r) => u=2rπ
Wenn ja: Wie kam man dann auf π =
3,141592653…?
Ich danke allen, die antworten, im Vorraus.
Gruß,
Jari
Ich weiß leider nicht, wie die neuen sehr genauen Bestimmungsmethoden für Pi sind. Wenn Du aber mal selbst Pi betsimmen willst, kannst Du das sehr schön mit der Monte-Carlo Methode machen.
Die Idee dazu:
Auf ein Papier ist ein Quadrat der Kantenlänge 1 gezeichnet. Darin einbeschreiben ist ein Viertelkreis. Das Verhältnis der Flächen des Viertelkreises zu dem des Quadrats ist: π/4
Nun werden (idealerweise nacheinander) sehr viele Sesamkörner (oder etwas anderes kleines) auf das Blatt Papier fallen gelassen. Dabei wird jedes Mal festgestellt, ob das Korn in den Kreisausschnitt gefallen ist, oder in den rest des Quadrats.
Bildet man daraus das Verhältnis (also die relative Häufigkeit, dass ein Korn in den Viertelkreis fällt) so ist dieses gleich π/4.
Wer keine Lust zu zählen hat, kann sich das ganze auch programmieren und den Computer zählen lassen.