Hallo,
kann das jemand bestätigen bzw. einen Fehler finden?
Taylorpolynom 3. Grades der Funktion g(x) = sinh(x^2) im Entwicklungspunkt x_0 = 0.
g(x) = sinh (x^2)
g’(x) = cosh (x^2)
g’’(x) = sinh (x^2)
g’’’(x) = cosh (x^2)
T = (1/1!)*x^2 + (1/3!)*x^4 ??
Danke!!!
Hallo Martin
In der Differentiation kann ich keinen Fehler sehen. Doch mit der Potenzreihenentwicklung nach Taylor bin ich nicht ganz einverstanden.
Diese Reihenentwicklung basiert auf der Verschiebung des Koordinatensystems. Das kommt daher, wenn die Reihe mit steigendem x sehr verzögert konvergiet, falls x>1 ist. Mit der Koordinatenverschiebung verschaffst du dir Abhilfe und bekommst x = x_0 + h.
Dann ist F(x) = F(x_0+h) = phi(h)
und F’(x) = F’(x_0+h) = phi’(h)
Potenzreihenentwicklung von phi(h) ergibt somit:
phi(h)=phi(0)+phi’(0)*h+phi’’(0)*h^2/2!+phi’’’(0)*h^3/3!+…
Substituieren wir phi(h), phi’(h),… durch F(x_0),F’(x_0),… bekommen wir folgende Form:
F(x_0+h)=F(x_0)+F’(x_0)*h+F’’(x_0)*h^2/2!+F’’’(x_0)*h^3/3!
h ist also die Differenz zwischen x und x_0. In deinem Fall also, wenn x_0=0 ist, dann ist h=x.
Setzen wir für h x ein und für F(x) die gegebene Funktion sinh(x^2), so ergibt sich:
g(x_0+x)=sinh(x_0)+cosh(x_0)*x+(1/2)!*sinh(x_0)*x^2+(1/3)!*cosh(x_0)*x^3.
Wenn x_0=0 ist, dann ist sinh(0)=0 und cosh(0)=1 und das endgültige Resultat der entwickelten Potenzreihe nach Taylor:
g(x)=1*x+(1/3)!*1*x^3
Viel Vergnügen und Freude beim Lesen.
Grüsse
Zoran
Tut mir Leid…
(1/3)! ist nicht gleich 1/3! !!!
Es sollte heissen: g(x)=x+x^3/3!.
Grüsse
Zoran
Hallo.
Taylorpolynom 3. Grades der Funktion g(x) = sinh(x^2) im
g(x) = sinh(x2)
==> g’(x) = 2 x cosh(x2)
==> g’’(x) = 4 x2 sinh(x2) + 2 cosh(x2)
==> g’’’(x) = 12 x sinh(x2) + 8 x3 cosh(x2)
==> g(0) = 0, g’(0) = 0, g’’(0) = 2, g’’’(0) = 0
==> g(x) ≈ 1/2! 2 x2
==> g(x) ≈ x2 ist das Taylorpolynom von g(x) bis n = 3
g(x) = sinh (x^2)
g’(x) = cosh (x^2)
Und auf die innere Ableitung hast Du keine Lust?
Gruß
Martin
Hallo Zoran,
In der Differentiation kann ich keinen Fehler sehen.
die inneren Ableitungen hast Du nicht vermisst?
Diese Reihenentwicklung basiert auf der Verschiebung des
Koordinatensystems. Das kommt daher, wenn die Reihe mit
steigendem x sehr verzögert konvergiet, falls x>1 ist. Mit
der Koordinatenverschiebung verschaffst du dir Abhilfe und
bekommst x = x_0 + h.
Ähhhhhhhh… WAS??? *vomstuhlfall*
endgültige Resultat der entwickelten Potenzreihe nach Taylor:
g(x)=1*x+(1/3)!*1*x^3
Da, wie man direkt sieht, g(x) = sinh(x2) eine gerade Funktion ist, kann ihr Taylorpolynom auch nur gerade x-Potenzen enthalten (bei „Entwicklungstelle = Ursprung“).
Gruß
Martin