Hi,
kann mir jemand mal schnell auf die Sprünge helfen?
Ich hab 2 zyklische Gruppen G,H mit ggT(|H|,|G|)=1.
Wie zeige ich, dass GxH wieder eine zyklische Gruppe ist.
Danke für die Hilfe
Simon
Ich hab 2 zyklische Gruppen G,H mit ggT(|H|,|G|)=1.
Wie zeige ich, dass GxH wieder eine zyklische Gruppe ist.
Eine Gruppe heißt zyklisch, wenn sie von den Potenzen eines ihrer Elemente erzeugt wird.
Sei G=[a], und H = [b].
|G|=:m und |H| =: n.
Wir zeigen, dass GxH = [(a,b)].
Zu jedem (x,y) aus GxH gibt es r und s mit x=ar und y=bs.
(*) Da m und n teilerfremd sind, gibt es ein k mit k = r mod m und k = s mod n.
Und (x,y) = (ar, bs) = (a,b)k.
Und Fertig.
Für alle Fälle hier noch der Beweis von (*):
Sind m und n teilerfremd, so gibt es zu beliebigen r, s aus Z stets ein k mit k = r mod m und k = s mod n.
Beweis: Da m und n teilerfremd sind, gibt es u, v mit 1=um+vn.
Setze k = rvn+sum.
k - r = rvn+sum-r= r(vn-1)+sum = -rum + sum = m (su-ru)
also k = r mod m.
Analog zeigt man, dass k = s mod n.
Die Umkehrung (wenn das Produkt zyklisch ist, sind die Ordnungen der erzeugenden Gruppen teilerfremd) gilt übrigens auch.
Brauchst Du die auch?
Hi,
vielen Dank für die schnelle Hilfe. ich glaube so langsam verstehe ich das Thema.
Die Umkehrung brauche ich nicht aber man kann ja nie wissen!! 
Simon