Hi, ich hab eine Frage zum Theorem von Heine-Borel:
Für jeden Vektorraum X gilt: Der Abschluss des „Einheitskreises“ bezüglich der gewählten Norm ist kompakt dim X.
Warum gilt dieser Satz nur für den Einheitskreis, also für den Kreis um den 0-Vektor mit Radius 1? Ich vermute, dass man den Satz auf alle Kreise verallgemeinern kann, wenn man den Mittelpunkt verschiebt und den Radius beliebig (
Hallo Timo,
Hi, ich hab eine Frage zum Theorem von Heine-Borel:
Für jeden Vektorraum X gilt: Der Abschluss des
„Einheitskreises“ bezüglich der gewählten Norm ist kompakt
dim X.
Warum gilt dieser Satz nur für den Einheitskreis, also für den
Kreis um den 0-Vektor mit Radius 1? Ich vermute, dass man den
Satz auf alle Kreise verallgemeinern kann, wenn man den
Mittelpunkt verschiebt und den Radius beliebig (normierten Raum ersetzt schon:
gilt stets nach Heine-Borel (ich kenne als H-B: X endlich dim. normierter Raum, dann gilt A A abgeschlossen und beschränkt).
=>
(1) Vergrößere den Radius: Sei r>=1 und K_r(0) (ich meine mit K immer abg. Kugeln) kompakt => K_0(0) kompakt (abg. Teilmengen kompakter Mengen sind kompakt) => dim X (2) Verschiebe den Mittelpunkt: Sei wieder r>=0 und m aus X und K_r(m) kompakt. Die Abbildung f: X->X, x->x-m ist stetig, daher ist auch f(K_r(m))=K_r(0) kompakt und damit nach (1) dim X