Frage zum Kreuzprodukt omega x vektor r

Dirk_8a1a6f · 3. Februar 2006 um 20:33

guten abend,

bitte um eine rechenmethode für Kreuzprodukte jener art:

nun mit zweien bekomme ich noch hin, aber dreien?

habt ihr da ne rechenvorschrift zur orth. des ergebnisses v?

dankeschoen

Diffentation / Integration

woran erkenne ich was ich nach welche Richtung „behandeln“ muß?

zb. „wo bin ich - wohin will ich“

von der Geschwindigkeit zum Weg…
von da nach da…

was nehme ich, woran erkenne ich das?

woran erkenne ich das ich partiell ableiten muss?

vielen dank

Martin_Heuschober · 3. Februar 2006 um 22:13

Hallo Dirk könntest du dich etwas genuer ausdrücken - ich jedenfalls weiss nicht genau was du willst:
Das Kreuzprodukt:

w x r =
|ex ey ez|
|wx wy wz|
|rx ry rz|

Kann man so definieren als W x R := det(E,W,R),
wobei E ein Vektor der als „Koordinaten“ die Standard-Einheitsvektoren hat - bem ausrechnen einfach stur mit Sarrus ausrechnen und dann nachschaun was bedeutet das … es kommt dasselbe Kreuzprodukt heraus das du in der Schule gelernt hast - wenn dir das lieber ist rechne es halt so aus.

nun mit zweien bekomme ich noch hin, aber dreien?

meinst du WxRxS - das rechnest du am besten so:
(WxR)=:T zuerst
dann TxS und das zweifache Kreuzprodukt kannst du ja - (Assoziativgesetz heißt das so viel ich weiss)

habt ihr da ne rechenvorschrift zur orth. des ergebnisses v?

was meinst du damit?? das Kreuzprodukt ist per definitionem orthogonal auf W,R,S

Diffentation / Integration

woran erkenne ich was ich nach welche Richtung „behandeln“
muß?

zb. „wo bin ich - wohin will ich“

von der Geschwindigkeit zum Weg…
von da nach da…

???Meinst du das???
x…Ortsfunktion abh. von der Zeit t

v=s/t–>v=dx/dt=x’
a=v/t–>a=dv/dt=x’’
Integrieren von a->v->x
Differenzieren von x->v->a

was nehme ich, woran erkenne ich das?

???

woran erkenne ich das ich partiell ableiten muss?

f:R^n->R^m
f’(x0)(v)…Richtungsableitung im Pkt. x0 in Richtung v

die Richtungsableitungen in die Koordinatenrichtungen v=e1,…,en
sind genau die partiellen Ableitungen - wenn die stetig sind dann wird deine Ableitung von f - f’(x0) genau durch die Jacobi-Matrix beschrieben und deren Zeilen/Spalten sind genau die partiellen richtungsableitungen, f’(x0).v =[f’(x0)]v wobei [f’(x0)] die Jacobi matrix und [f’(x0)]v die ho Matrixmultiplikation.

ich hoffe es half ciao martin

Martin · 3. Februar 2006 um 23:05

Hallo,

meinst du WxRxS - das rechnest du am besten so:
(WxR)=:T zuerst
dann TxS und das zweifache Kreuzprodukt kannst du ja -
(Assoziativgesetz heißt das so viel ich weiss)

Um Himmels willen… das Kreuzprodukt ist nicht assoziativ! (es ist übrigens auch nicht kommutativ. Aber distributiv bzgl. der Addition, das ist es!)

Solange nicht mit Klammern festgelegt wird, welches „x“ zuerst auszurechnen ist – „(W x R) x S“ oder „W x (R x S)“ – ist der Term „W x R x S“ also nicht definiert.

Gruß
Martin

Martin · 3. Februar 2006 um 23:23

Hallo Dirk,

w x r = …
nun mit zweien bekomme ich noch hin, aber dreien?

dafür ist der sogenannte „Entwicklungssatz“ zuständig (auch als „bac-minus-cab-Formel“ bekannt):

(a x b) x c = b (a · c) – c (a · b)

habt ihr da ne rechenvorschrift zur orth. des ergebnisses v?

Na klar. Es gilt: a x b steht senkrecht auf a und senkrecht auf b. Dabei bilden a, b und a x b ein _Rechts_system. Das heißt: Wenn Du in Gedanken a zu b hindrehst und diesen Drehsinn mit den schlappen Fingern der rechten Hand anzeigst, dann weist der ausgestreckte Daumen in Richtung von a x b.

von der Geschwindigkeit zum Weg…
von da nach da…

Beschleunigung a = dv/dt; Geschwindigkeit v = dx/dt; x = Ortskoordinate

woran erkenne ich das ich partiell ableiten muss?

An dem „∂“.

Gruß
Martin

Dirk_8a1a6f · 4. Februar 2006 um 09:41

Danke an allen Antwort-Gebenden!
vielen dank an euch,

ich hab ja dann zu tun

mit

|ex ey ez| |ex ey ez|

meinte ich die Richtungsangaben, die immer oben erst rangeschrieben werden müssen, (Koordinaten), wohl der Optik wegen.

Also ist das Stichwort „Determinante“ und zwar erst die eine, dann die andere verbliebene mit der bereits errechneten lösen…

Martin_Heuschober · 4. Februar 2006 um 17:48

danke für die Korrektur!(owt.)
.

CandIng_56ac2d · 6. Februar 2006 um 04:12

Hallo.

Der Rest der Fragen wurde ja schon toll beantwortet.
Hier noch ein Nachtrag.

Diffentation / Integration

woran erkenne ich was ich nach welche Richtung „behandeln“
muß?

zb. „wo bin ich - wohin will ich“

von der Geschwindigkeit zum Weg…
von da nach da…

was nehme ich, woran erkenne ich das?

Ausgangspunkt ist immer die Ortskoordinate.

Dir leuchtet doch bestimmt ein, daß die Ableitung des Ortes nach der Zeit, die ÄNDERUNG des Ortes nach der Zeit ist, oder?

Es wird ein Weg in einer Zeit zurückgelegt - die Ableitung ist doch nur der Grenzübergung vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten.

Demzufolge ist die Ableitung dx/dt die Momentangeschwindigkeit genau in dem entsprechenden Zeitpunkt.

Nun hast Du die Geschwindigkeit.
Was passiert, wenn Du die Geschwindigkeit ableitest?

Du führst eine GeschwindigkeitsÄNDERUNG herbei, ein dv/dt.

Auch hier hilft die Analogie zur einfachen Differenzenformel mit den Deltas und dann nur der Grenzübergang zur Ableitung.

Die Änderung einer Geschwindigkeit erfodert immer eine Beschleunigung - beziehungsweise eine Verzögerung (negative Beschleunigung).

Da die Geschwindigkeit bereits dx/dt gewesen ist, also v = dx/dt, führt die Ableitung der Geschwindigkeit auf die ZWEITE Ableitung des Ortes nach der Zeit: a = dv/dt = d^2x/dt^2.

Nun hast Du die Beschleunigung.
Man kann noch weiter gehen: Die DRITTE Ableitung des Ortes nach der Zeit - also die Ableitung der Beschleunigung nach der Zeit, führt auf eine technisch sehr bedeutsame Größe, die RUCK genannt wird.

Der Ruck beschreibt die Änderung der Beschleunigung und ist eine hochdynamische Größe - vor allem wichtig in der (elektischen) Antriebstechnik. Je geringer der Ruck ist, desto „sanfter“ verlaufen Beschleunigungsänderung wie bspw. Anfahren, Bremsen, …

Somit mußt Du Dir merken:

Die erste Ableitung des Ortes nach der Zeit heißt Geschwindigkeit und ist ein Maß für die Änderung des Ortes (Weges).

Die zweite Ableitung des Ortes nach der Zeit heißt Beschleundigung und
ist ein Maß für die Änderung der Geschwindigkeit der Ortsänderung.

Die dritte Ableitung des Ortes nach der Zeit heißt Ruck und ist ein
Maß für die Änderung der Geschwindigkeitsänderung der Ortsänderung.

Integrieren mußt Du logischerweise in die umgekehrte Richtung.

Willst Du von einer Beschleunigung zur Geschwindigkeit, mußt Du einmal integrierten, weil im a-t-Diagramm die Geschwindigkeit der Fläche unter dem Kurvenverlauf der Beschleunigung entspricht.

Analog gilt das für die anderen Fälle.

woran erkenne ich das ich partiell ableiten muss?

Partiell ableiten ist immer nur bei Funktionen notwendig, die von mehreren uabhängigen Variablen abhängig sind. Ein Parameter ist bspw. keine wirkliche weitere Variable. Mehrere Ortskoordinaten dagegen führen sofort auf Funktionen mehrerer Variabler (x,y,z). Die Zeit kommt häufig in Technik und Physik ebenfalls noch dazu, womit man bei (x,y,z,t) wäre. Et cetera.

MfG

Dirk_8a1a6f · 6. Februar 2006 um 10:09

danke, danke danke!!

die Aussagen werde ich mir einrahmen.

sehr sehr verständlich und gerade jetzt hilfreich.

jetzt macht es auch wieder spaß …

Die Antwort kommt in meinen Mathematik-Regalreihe rein

CandIng_56ac2d · 7. Februar 2006 um 16:44

Huch, ist wohl was schief gegangen beim Tippen.

danke, danke danke!!

die Aussagen werde ich mir einrahmen.
sehr sehr verständlich und gerade jetzt hilfreich.

jetzt macht es auch wieder spaß …

)

Keine Sorge, das Problem mit dem „Wald vor lauter Bäumen“ hatte jeder schon einmal.

Was macht denn jetzt wieder Spaß? Wofür brauchtest Du die Auskünfte?

Es gibt übrigens noch einen ganzen Haufen weiterer Analogien (die oft sogar um Welten anschauelicher sind, als die Zusammenhänge von Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung, …).

Beispielsweise Differentiation und Integration von Winkelfunktionen.
Statt diesen Quatsch zu lernen, kann man darauf ganz verzichten, wenn man den Trick mit dem Einheitskreis kennt.

Zeichne Dir im x-y-Koordinatensystem einen Einheitskreis auf und hebe Dir gesondert hervor:

* das positive Stück y-Achse (SINUS)
* das positive Stuck x-Achse (COSINUS)
* das negative Stück x-Achse (- COSINUS)
* das negative Stück y-Achse (- SINUS)

hier als Hilfe:

…Sinus…
…
-COSINUS…Cosinus
…
…-Sinus…

jetz gilt:

DIFFERENZIEREN — Fortschreiten im Uhrzeigersinn!
INTEGRIEREN — Fortschreiten gegen den Uhrzeigersinn!

Ableiten:

………------------->…SINUS…………-------------|…………
………|……………………………….………….……|………
………|…………………………………………V…………
minus COSINUS……………………………COSINUS……
………^………………………………………………|…………
………|…………………………………………….…|…………
………-----------…… minus SINUS……… minus SINUS….--------------………….

Schon brauchst Du den Scheiß nicht zu lernen, sondern kannst das schnell herleiten.

Solche Eselsbrücken gibts en masse in der „angewandten“ Mathe und Physik.

Die Antwort kommt in meinen Mathematik-Regalreihe rein

Wie meinst Du das?

MfG

Dirk_8a1a6f · 7. Februar 2006 um 20:50

nun um mal sinnvoll mit der mathematik umzugehen, denn wenn man alle bücher sich ansieht, gehen die meistens (wie alle schulen generell seit 100 jahren) nicht vom praktischen ansatz aus, sondern vom auswendig pauken, aus dem zusammenhang abbilden

CandIng_56ac2d · 8. Februar 2006 um 16:38

nun um mal sinnvoll mit der mathematik umzugehen, denn wenn
man alle bücher sich ansieht, gehen die meistens (wie alle
schulen generell seit 100 jahren) nicht vom praktischen ansatz
aus, sondern vom auswendig pauken, aus dem zusammenhang
abbilden

Das Problem hatte ich aber jetzt kürzlich auch erst wieder in einer
Diskussion.

Um es etwas überspitzt zu sagen:
Die 5 Jahre Studium kommen nie wieder - das Geld kommt aus der Wand (oder von den Eltern). Diese Zeit muß man intensiv nutzen, um die Literatur regelrecht durchzuackern. Für Ingenieure heißt das heutzutage eigentlich immer nur Feldtheorie, denn die Zeiten der reinen „praktischen Asse“ neigt sich dem Ende zu.
Vor zehn oder zwanzig Jahren mag es noch überlebenswichtig gewesen zu sein, wie ein Bekloppter Schaltungen rechnerisch vergewaltigen zu können, oder beliebig anderes im Schema „methodisches Pauken“ beherrscht zu haben.
Diese methodische Sicherheit muß natürlich auch da sein; viel günstiger ist es jedoch, als Student eine gewisse „Coolness“ zu erlernen und die Parallelität vieler Verfahren und Gedanken zu durchschauen - und *das* wird miserabel ausgebildet an deutschen Unis.
Stattdessen versucht man immer noch, diese gigantische Wissensmenge mit der Peitsche (= übermäßig stressige Prüfungen/ schwere Aufgaben) in den Studenten hineinzubekommen. Platz für systematisches Herangehen (Herleiten, Ableiten, konstruktives Überlegen) wird durch den Zeitrahmen einfach nicht gelassen.
Bis zu einem gewissen Grade ist das auch sinnvoll, doch kenne genug Beispiele, wo es die Klausurersteller radikal übertreiben und auch das Argument „Heraussieben“ nicht mehr zieht.
Daran kann man aber nichts ändern …

Auch sonst heißt die Devise bei Dingen wie Feldtheorie, daß man erst einmal viel, viel, viel Wissen demütig hinnehmen und quasi schlucken muß, bis sich irgendwann das Gestrüppe lichtet.

Mit Effizienzrechnungen braucht man da gar nicht anfangen - also das viel beschworene
„WOFÜR BRAUCH ICH DENN DIESEN SCH…ÖNEN THEORETISCHEN STOFF “
darf gar nicht erst auf den Tisch kommen -

solche Gedanken können sich BWLer oder sonst welche Leute machen, aber bitte niemand, der sich geistig tiefergehend beschäftigt (vor allem in der Theorie).

Du mußt Dir - bezogen auf Dein Beispiel - einfach Bücher holen, die für Dich nicht trocken und „zu unpraktisch“ sind.
Danach gilt die einfache Rechnung: Als Aufwand „für zuhause“ kann man an der Uni ruhig das Doppelte der Zeit der Lehrveranstaltungen hernehmen. Damit ist man dann aber auch permanent auf allen Gebieten (und auch theoretisch) richtig fit —

Bist Du einmal in dem Schema drin, fällt es Dir dann auch leicht, solche Zusammenhänge wie Ort - Geschwindigkeit - Beschleunigung, also x - dx/dt - d^2x/dt^2 wie selbstverständlich selbst aufzustellen, zu verstehen und auch zu erklären.

Lerngruppen können unter Umständen auch helfen, je nachdem was Du für ein Lerntyp bist. Manches erschließt sich nur beim Selbstdurchleiden und Knobeln. Manches geht dafür umso einfacher in einer Gruppe mit kleiner Wandtafel zum Anschreiben.

Um die „Softskills“ mußt Du Dich dann auch noch kümmern - Englisch, taktischer Umgang mit Leuten, gesunder Menschenverstand, Anstand, Benehmen, Höflichkeit.

Ist schon ziemlich viel, was heute verlangt wird, wenn man relativ weit oben einsteigen will - davon bin ich jetzt die ganze Zeit 'mal ausgegangen. Natürlich kann man auch den GRoßteil der Theorie und Co. zum Teufel wünschen und schicken, doch angesichts der Entwicklungen von heute, wird man so auf absehbare Zeit irgendwo in der Mitte steckenbleiben.

Wollte Dir keine Angst machen, aber die Zeiten ändern sich rasend schnell, so daß man nie genug wissen kann – wer weiß schon, wo man 'mal landet?

)

MfG

P.S. Was meintest Du mit dem Matheregal ?