Frage zum Linienintegral

Wissenschaft Mathematik
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Hallo leute,

Wir haben in der Schule Linienintegrale behandelt, doch da gibt es ein paar Dinge die ich nicht verstehe.
Also:

Die übliche Vorgehensweise zur Bestimmung der Länge l einer solchen
Kurve ist es, diese in Teilstücke Δl zu zerlegen und aufzusummieren.

\l=\sum_{k=1}^n \Delta l_{k}

verstehe ich soweit.

So, dann lasse ich
\Delta l_{k}\rightarrow 0 gegen Null gehen und erhalte das Integral.
Von der Parametrisierten Funktion habe ich die Koordinaten x=x(t);y=y(t);z=z(t)
Dann gilt:

\Delta l\approx\Delta s=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2}

Den nächsten Schritt verstehe ich nicht, nun hat unser Lehrer die Gleichung mit \Delta t multipliziert.

\Delta l\approx\sqrt{(\frac{\Delta x}{\Delta t})^2+(\frac{\Delta y}{\Delta t})^2+(\frac{\Delta z}{\Delta t})^2} \cdot \Delta t

Kann mir jemand erklären, warum der Ausdruck mit \Delta t multipliziert wird?

Danke für eure Hilfe!

Gruß Christof

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\Delta l\approx\Delta s=\sqrt{(\Delta
x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2}

Den nächsten Schritt verstehe ich nicht, nun hat unser Lehrer
die Gleichung mit \Delta t
multipliziert.

\Delta l\approx\sqrt{(\frac{\Delta
x}{\Delta t})^2+(\frac{\Delta y}{\Delta t})^2+(\frac{\Delta
z}{\Delta t})^2} \cdot \Delta t

Kann mir jemand erklären, warum der Ausdruck mit \Delta t multipliziert wird?

Hallo Christof,

euer Lehrer hat die Gleichung nicht mit Δt multipliziert, sondern auf der rechten Seite der Gleichung mit Δt erweitert, d.h. er hat die rechte Seite der Gleichung mit Δt/Δt multipliziert. Das darf man weil das ja 1 ist.

\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2}

=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2}\cdot\frac{\Delta t}{\Delta t}

=\frac{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2}}{\sqrt{(\Delta t)^2}}\cdot\Delta t

=\sqrt{\frac{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2}{(\Delta t)^2}}\cdot\Delta t

=\sqrt{\left(\frac{\Delta x}{\Delta t}\right)^2+\left(\frac{\Delta y}{\Delta t}\right)^2+\left(\frac{\Delta z}{\Delta t}\right)^2}\cdot\Delta t

Gruß

hendrik

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Hallo hendrik,

Danke für deine schnelle und ausführliche Antwort.
Das habe ich jetzt verstanden.
Ich hätte noch eine Frage zum nächsten Schritt:
Als nächstes hat unser Lehrer einen Grenzübergang Δt →dt vollzogen.

d\l=\sqrt{(\frac{d x}{dt})^2+(\frac{d y}{dt})^2+(\frac{d z}{dt})^2}\cdot d t

Kann mir jemand diesen Schritt genauer erläutern?

Gruß Christof

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Als nächstes hat unser Lehrer einen Grenzübergang Δt →dt
vollzogen.

[…]

Kann mir jemand diesen Schritt genauer erläutern?

Gruß Christof

eigentlich sind das zwei schritte:

  1. der grenzübergang Δt →0

  2. wird dadurch aus einer (meßbaren) differenz („Δ“) eine differentiations- oder integrations-variable („d“).

dies geschieht in analogie zur ursprünglichen (linien-) summe, die durch Δl →dl zum linienintegral wurde, und wird gebraucht, um als vorarbeit zur verwendung der transformationsformel für integrale.